Mathe für Nicht-Freaks: Basiswechselmatrizen

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

In diesem Artikel lernen wir Basiswechselmatrizen kennen. Mithilfe von Basiswechselmatrizen kann man Koordinaten bzgl. einer gegebenen Basis in Koordinaten bzgl. einer anderen Basis umrechnen. Das ist insbesondere nützlich für das Rechnen mit Abbildungsmatrizen.

Herleitung

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist, gibt es eine Basis $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ von $V$. Also lässt sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren $b_1,\dots ,b_n$ schreiben, d.h. $v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{b}_i$ mit eindeutigen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$.

Weiter wissen wir, dass Vektorräume mehr als eine Basis haben können. Sei $C=\{c_1,\dots ,c_n\}$ eine zweite Basis von $V$. Dann können wir $v$ auch eindeutig als Linearkombination der $c_i$ schreiben, d.h. $v=\sum _{i=1}^n{\mu }_i{c}_i$ mit eindeutigen ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n\in K$.

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors $v$. Über die Basis $B$ bekommen wir die Darstellung $v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{b}_i$ und über die Basis $C$ erhalten wir $v=\sum _{i=1}^n{\mu }_i{c}_i$.

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich $B$ des Vektors $v$ in die Darstellung bezüglich $C$ überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen, wie wir weiter unten im Abschnitt Anwendung von Basiswechselmatrizen sehen werden. Abbildungsmatrizen erlauben uns, mit Koordinaten statt mit Vektoren von $V$ zu rechnen. Die Koordinaten eines Vektors hängen aber immer von der gewählten Basis in $V$ ab. Wir wollen eine einfache Möglichkeit, um Koordinaten beliebiger Vektoren bzgl. einer Basis $B$ von $V$ in Koordinaten bzgl. einer anderen Basis $C$ von $V$ umzurechnen.

Die Situation im $K^n$

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den $K^n$ und setzen $B=(e_1,\dots ,e_n)$ als die (geordnete) Standardbasis fest. Sei weiter $C=(c_1,\dots ,c_n)$ eine beliebige geordnete Basis des $K^n$. Weil Abbildungsmatrizen von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängen, müssen wir für $B$ und $C$ geordnete Basen benutzen.

Sei $v=(x_1,\dots ,x_n{)}^T=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$ ein Vektor, dessen Koordinaten bezüglich der Standardbasis $B$ wir kennen. Der Vektor $v\in K^n$ lässt sich in der Basis $C$ schreiben als $v={\lambda }_1{c}_1+\cdots +{\lambda }_n{c}_n$ für eindeutig bestimmte ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$. Wie können wir die Koordinaten ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ von $v$ bzgl. $C$ einfach aus den Koordinaten $x_1,\dots ,x_n$ von $v$ bzgl. der Standardbasis $B$ berechnen?

Dafür wollen wir die Abbildung $K^n\to K^n$ beschreiben, die jeden Vektor $v=(x_1,...,x_n{)}^T\in K^n$ auf seinen Koordinatenvektor $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T\in K^n$ bzgl. $C$ abbildet. Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung $k_C:K^n\to K^n$, die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Sie ist linear.

Um $k_C$ zu beschreiben, können wir die darstellende Matrix $M_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}(k_C)$ bzgl. der Standardbasis $B=(e_1,\dots ,e_n)$ berechnen. Per Definition der darstellenden Matrix im $K^n$ erhalten wir dann den gesuchten Koordinatenvektor $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$, indem wir $v=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ von links mit $M_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}(k_C)$ multiplizieren.

Um die Matrix $M_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}(k_C)$ zu berechnen, müssen wir $k_C(e_1),\dots ,k_C(e_n)$ bestimmen. Diese bilden dann die Spalten von $M_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}(k_C)$. Wir suchen also die Koordinaten von $e_1,\dots ,e_n$ bzgl. $C$, müssen diese also als Linearkombination von Vektoren in $C$ schreiben. Wir erhalten $n$ Gleichungen Vorlage:Einrücken wobei die $a_{ij}$ die gesuchten Koordinaten sind. Die Koeffizienten $a_{ij}$ kann man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems bestimmen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Dann ist $k_C(e_j)=(a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{nj}{)}^T$ für $j=1,\dots ,n$. Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix Vorlage:Einrücken Wir erhalten $M_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}(k_C)y=k_C(y)$ für alle $y\in K^n$. Die gesuchten Vorfaktoren ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ erhalten wir also durch Vorlage:Einrücken

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ gibt es anders als im $K^n$ keine Standardbasis. In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen $B=(b_1,\dots ,b_n)$ und $C=(c_1,\dots ,c_n)$. Weiter haben wir einen beliebigen Vektor $v\in V$ gegeben als Linearkombination $v=x_1{b}_1+\dots +x_n{b}_n$ bzgl. der Basis $B$ mit $x_1,\dots ,x_n\in K$. Die Koeffizienten $x_1,\dots ,x_n$ werden auch die Koordinaten von $v$ bzgl. $B$ genannt. Entsprechend sind die Koordinaten bzgl. der Basis $C$ gewisse Skalare ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ mit $v={\lambda }_1{c}_1+\dots +{\lambda }_n{c}_n$.

Wir suchen eine Methode, um die Koordinaten $x_1,\dots ,x_n$ bzgl. $B$ eines beliebigen Vektors $v\in V$ in die Koordinaten ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ bzgl. $C$ umzurechnen. Wir benötigen also eine Abbildung $K^n\to K^n$, die $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ auf $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$ abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen $k_B:V\to K^n$ mit $k_B(v)=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in K^n$ und $k_C:V\to K^n$ mit $k_C(v)=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$. Wir wollen aus $(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in K^n$ den Vektor $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T\in K^n$ erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt $k_B^{-1}:K^n\to V$ den Vektor $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ auf $v$ und $k_C:V\to K^n$ bildet $v$ auf $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$ ab. Führen wir erst $k_B^{-1}$ und anschließend $k_C$ aus, so erhalten wir eine Abbildung, die $(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ auf $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$ abbildet.

Vorlage:Anker Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung $k_C\circ k_B^{-1}:K^n\to K^n$ realisiert. Wir können dann, wie oben bei der Situation im $K^n$, die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im $K^n$ bezüglich der Standardbasis bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann $M_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{d}}(k_C\circ k_B^{-1})$. Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix $M_C^B({\mathrm{id}}_V)$, wegen $k_C\circ k_B^{-1}=k_C\circ {\mathrm{id}}_V\circ k_B^{-1}$.

Es ergibt auch intuitiv Sinn, dass die Basiswechselmatrix von $B$ nach $C$ genau durch die darstellende Matrix $M_C^B({\mathrm{id}}_V)$ der Identität bzgl. den Basen $B$ und $C$ gegeben ist. Denn multiplizieren wir den Koordinatenvektor $k_B(v)$ bzgl. $B$ eines Vektors $v\in V$ von links mit $M_C^B({\mathrm{id}}_V)$, so erhalten wir per Definition der darstellenden Matrix genau den Koordinatenvektor bzgl. $C$ von ${\mathrm{id}}_V(v)=v$. Es gilt also Vorlage:Einrücken für alle $v\in V$. Die Matrix $M_C^B({\mathrm{id}}_V)$ rechnet also Koordinaten bzgl. $B$ in Koordinaten bzgl. $C$ um. Das ist genau, was die Basiswechselmatrix auch macht.

Definition

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Basisübergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Warnung

Anwendung von Basiswechselmatrizen

Das Problem mit Abbildungsmatrizen

Wir können für jede lineare Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei endlich dimensionalen Vektorräumen eine Abbildungsmatrix $M_C^B(f)$ finden. Diese hängt aber von der Wahl der geordneten Basen $B$ und $C$ ab. Wählen wir andere Basen $B^{\prime }$ oder $C^{\prime }$, erhalten wir wahrscheinlich eine andere Abbildungsmatrix. Das sehen wir in folgendem Beispiel: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Lösung des Problems

Gegeben sind eine Abbildung $f:V\to W$ und geordnete Basen $B$ und $B^{\prime }$ von $V$ sowie $C$ und $C^{\prime }$ von $W$. Wir stellen uns folgende Frage: Wie können wir die Darstellungsmatrix $M_C^B(f)$ in die Darstellungsmatrix $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ überführen?

Wir wollen uns im Folgenden überlegen, warum die Formel aus dem Satz richtig ist und wie man darauf kommt.

Aus der Definition der Darstellungsmatrix wissen wir, dass für alle Vektoren $x\in K^n$ gilt $M_C^B(f)x=k_C\circ f\circ k_B^{-1}(x)$ und $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x=k_{C^{\prime }}\circ f\circ k_{B^{\prime }}^{-1}(x)$. Diese Gleichung können wir einem Diagram veranschaulichen:

Darstellung der gleichen linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen als zwei Diagramme

Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht. Zum Beispiel ist es egal, ob wir mit $f$ von $V$ direkt nach $W$ gehen oder den Umweg über $K^n$ und $K^m$ einschlagen. Entsteht bei jedem Weg die gleiche Abbildung, spricht man von einem kommutierenden Diagramm.

Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

Darstellung der gleichen linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen als ein Diagramme

Auch dieses Diagramm kommutiert wieder. Das heißt, wenn man einen festen Start- und Endpunkt hat, ist es immer noch egal, welchen Weg man im Diagramm geht. Es kommt immer die gleiche Abbildung heraus. Wenn wir links oben bei $K^n$ starten, ist es also egal, welchen Weg wir nutzen, um zum $K^m$ unten links zu kommen. Wir können über $x\mapsto M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x$ von $K^n$ nach $K^m$ gelangen oder zuerst $k_B\circ k_{B^{\prime }}^{-1}:K^n\to K^n$, dann $x\mapsto M_C^B(f)x$ und schließlich $k_{C^{\prime }}\circ k_C^{-1}:K^m\to K^m$ ausführen.

Die verschiedenen Kompositionen in blau und rot eingezeichnet

Folglich ist die Abbildung $K^n\to K^m,x\mapsto M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x$ gleich der Verknüpfung der Abbildungen $k_B\circ k_{B^{\prime }}^{-1}$, $x\mapsto M_C^B(f)x$ und $k_{C^{\prime }}\circ k_C^{-1}$. Wir haben nun gesehen, dass die Abbildung $x\mapsto M_C^B(f)x$ in die Abbildung $x\mapsto M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x$ überführt werden kann. Ursprünglich wollten wir aber die Matrix $M_C^B(f)$ in die Matrix $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ überführen. Wie kommen wir von der Abbildung $K^n\to K^m,x\mapsto M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x$ wieder zu der Matrix $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)\in K^{m\times n}$?

Die Matrix $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ sieht kompliziert aus. Deshalb überlegen wir uns, wie wir diese Frage für eine allgemeine Matrix $A\in K^{m\times n}$ beantworten können. Wir betrachten die zu $A$ zugehörige lineare Abbildung $L_A:K^n\to K^m,x\mapsto Ax$. Die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $L_A$ bezüglich den Standardbasen des $K^n$ und $K^m$ ist wieder $A$. Setzen wir nun die Matrix $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ für $A$ ein. Die Darstellungsmatrix der Abbildung $x\mapsto M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x$ bezüglich den Standardbasen ist genau $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$.

Wie wir schon gesehen haben, ist die Abbildung $x\mapsto M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)x$ gleich der Verknüpfung der Abbildungen $k_B\circ k_{B^{\prime }}^{-1}$, $x\mapsto M_C^B(f)x$ und $k_{C^{\prime }}\circ k_C^{-1}$. Also stimmt die Darstellungsmatrix der Verknüpfung von $k_B\circ k_{B^{\prime }}^{-1}$, $x\mapsto M_C^B(f)x$ und $k_{C^{\prime }}\circ k_C^{-1}$ bzgl. der Standardbasen mit $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ überein.

Wir können die Darstellungsmatrix der Verknüpfung aber auch anders ermitteln. Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir gesehen, dass Verknüpfungen von Abbildungen genau der Multiplikation der jeweiligen Darstellungsmatrizen entsprechen. Deshalb schreiben wir die Darstellungsmatrizen der verknüpften Abbildungen einzeln auf und multiplizieren sie dann.

• Wie wir für $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ schon gesehen haben, ist die Darstellungsmatrix von $x\mapsto M_C^B(f)x$ bezüglich der Standardbasen von $K^n$ und $K^m$ wieder $M_C^B(f)$.
• Die Darstellungsmatrix von $k_{C^{\prime }}\circ k_C^{-1}$ haben wir bereits oben hergeleitet, sie ist $M_{C^{\prime }}^C(\mathrm{id})$. Das ist genau die Basiswechselmatrix $T_{C^{\prime }}^C$.
• Genauso ist die Darstellungsmatrix von $k_B\circ k_{B^{\prime }}^{-1}$ gegeben durch die Basiswechselmatrix $T_B^{B^{\prime }}=M_B^{B^{\prime }}(\mathrm{id})$.

Multiplizieren wir diese drei Matrizen, erhalten wir die Matrix $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$. Also gilt Vorlage:Einrücken Das heißt, dass sich $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)$ aus $M_C^B(f)$ durch Linksmultiplikation mit $T_{C^{\prime }}^C$ und Rechtsmultiplikation mit $T_B^{B^{\prime }}$ berechnen lässt.

Transformation am Beispiel

Wir wissen nun, wie wir Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung zu verschiedenen Basen ineinander überführen können. Betrachten wir noch einmal das obige Beispiel. Wir haben die lineare Abbildung Vorlage:Einrücken und die geordneten Basen $B=(e_1,e_2)$, $C=((1,1{)}^T,(1,0{)}^T)$ und $C^{\prime }=((1,2{)}^T,(1,0{)}^T)$. Die Matrix $M_C^B(f)$ haben wir bereits berechnet: Vorlage:Einrücken Wir wollen $M_{C^{\prime }}^B(f)$ durch Matrizenmultiplikation bestimmen, also durch $M_{C^{\prime }}^B(f)=T_{C^{\prime }}^C{M}_C^B(f)T_B^B$. Wir müssen $T_B^B$ und $T_{C^{\prime }}^C$ bestimmen. Es gilt $T_B^B=I_2$, denn die Basis $B$ ändert sich nicht. Nun zur Berechnung der Basiswechselmatrix $T_{C^{\prime }}^C$: Wir wissen $T_{C^{\prime }}^C=M_{C^{\prime }}^C(\mathrm{id})$. Um diese Matrix zu bestimmen, müssen wir die Basisvektoren von $C$ in der Basis $C^{\prime }$ ausdrücken:

Vorlage:Einrücken Also ist Vorlage:Einrücken Daraus folgt Vorlage:Einrücken Überzeuge dich davon, dass dieses Ergebnis mit dem von oben übereinstimmt.

Beispiele

Basiswechsel einer Darstellungsmatrix

Wir haben die Basen Vorlage:Einrücken von ${ℝ}^2$ und die Basen Vorlage:Einrücken von ${ℝ}^3$ gegeben. Sei $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ eine Abbildung mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. $B$ und $C$: Vorlage:Einrücken

Wir wollen die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. den Basen $B^{\prime }$ und $C^{\prime }$ bestimmen. Das machen wir mit Matrizenmultiplikation $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)=T_{C^{\prime }}^C{M}_C^B(f)T_B^{B^{\prime }}$. Dafür müssen wir zunächst die Basiswechselmatrizen $T_B^{B^{\prime }}$ und $T_{C^{\prime }}^C$ berechnen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel