Mathe für Nicht-Freaks: Isomorphismus (Lineare Algebra)

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} In diesem Artikel betrachten wir Isomorphie und Isomorphismus. Zwei Vektorräume sind isomorph, wenn sie als Vektorräume "gleich" sind. Eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die diese 1 zu 1 ineinander abbilden, nennen wir Isomorphismus. Das heißt, ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.

Isomorphe Strukturen und Isomorphismen

Isomorphe Strukturen

Betrachten wir den Vektorraum $K[X{]}_{\le 2}$ der Polynome vom Grad kleiner gleich $2$ und ${ℝ}^3$. Vektoren in diesen Räumen haben eine eins zu eins Entsprechung, wie wir bereits im Artikel Einführung in den Vektorraum gesehen haben: {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Einführung in den Vektorraum|polynom_vektor}} Außerdem haben wir festgestellt, dass Addition und skalare Multiplikation in diesen Vektorräumen ähnlich funktionieren: {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Einführung in den Vektorraum|polynom-vektor_1}} {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Einführung in den Vektorraum|polynom-vektor_2}}

Im Allgemeinen kann man sich Vektorräume als Mengen mit einer gewissen Struktur vorstellen. In unserem Beispiel können wir die zugrundeliegenden Mengen der Vektorräume 1 zu 1 zuordnen. Darüber hinaus weisen diese Vektorräume eine ähnliche Struktur (sprich Addition und Multiplikation) vor. Daher wäre es sinnvoll zu sagen, dass die Objekte als Vektorräume "gleich" sind. So eine Gleichheit hat einen eigenen Namen: Isomorphie.

Wir leiten uns nun her, was dieser Begriff formal für zwei Vektorräume $V$ und $W$ bedeutet:

Die 1 zu 1 Zuordnung ist nichts anderes als eine bijektive Abbildung $f:V\to W$. Was bedeutet, dass die Struktur gleich ist? Wir wollen, dass wir Addition und skalare Multiplikation beim Hin- und Zurückabbilden erhalten. Dass eine Abbildung die Struktur des Vektorraums erhält, heißt genau, dass die Abbildung linear ist. Also wollen wir, dass $f$ und $f^{-1}$ linear sind.

Insgesamt erhalten wir folgende Definition:

Kommen wir nun zu unserem Beispiel von oben zurück. Die gesuchte Abbildung aus der Definition würde in diesem Fall wie folgt aussehen:

Isomorphismus

Wir wollen auch der oben eingeführten Abbildung $f$ einen Namen geben:

Alternative Herleitung Vorlage:Anker

Betrachten wir nun den Begriff „Vektorraum“ aus einem anderen Blickwinkel. Wir können uns einen Vektorraum auch als eine Basis zusammen mit zugehörigen Linearkombinationen der Basis vorstellen. Also können wir die Vektorräume „gleich“ nennen, wenn wir die Basen 1 zu 1 zuordnen können und die entsprechenden Linearkombinationen gleich gebildet werden. In anderen Worten suchen wir eine Abbildung, die sowohl Basen als auch Linearkombinationen erhält. Welche Eigenschaft muss die Abbildung haben, damit sie Linearkombinationen erhält? Die Antwort steckt schon fast im Namen: Die Funktion muss linear sein.

Widmen wir uns nun der Frage, welche Eigenschaft eine lineare Abbildung braucht, um Basen auf Basen abzubilden (d.h. Basen zu erhalten). Eine Basis ist nichts anderes als ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Somit muss die Abbildung Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit erhalten. Eine lineare Abbildung, die Erzeugendensysteme erhält, ist ein Epimorphismus – also eine surjektive lineare Abbildung. Eine lineare Abbildung, die lineare Unabhängigkeit erhält, heißt Monomorphismus und ist damit eine injektive lineare Abbildung. Also ist die gesuchte Funktion ein Epimorphismus und ein Monomorphismus. Als Monomorphismus muss sie injektiv sein. Als Epimorphismus muss die Abbildung andererseits surjektiv sein. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive, lineare Abbildung. Die nennen wir wiederum Isomorphismus. Das gibt uns die alternative Definition:

Umkehrabbildungen von linearen Bijektionen sind linear

Wir haben zwei Beschreibungen für den Isomorphismus hergeleitet. Dadurch haben wir auch zwei verschiedene Definitionen. Die erste scheint mehr zu fordern als die zweite: Bei der ersten Definition muss ein Isomorphismus $f$ zusätzlich erfüllen, dass $f^{-1}$ linear ist. Erhalten wir dadurch verschiedene mathematische Objekte? Laut unserer Herleitung und Intuition sollten beide Definitionen die gleichen Objekte definieren. Dies bestätigt der folgende Satz, aus welchem folgt, dass die zweite Definition die erste impliziert.

Isomorphe Strukturen klassifizieren

Bijektion der Basen erzeugt einen Isomorphismus

Wir haben uns im Abschnitt Alternative Herleitung überlegt, dass ein Isomorphismus eine lineare Abbildung ist, die Basen erhält. Das bedeutet, dass Basen auf Basen geschickt und Linearkombinationen erhalten werden. Etwas formaler Beschrieben, haben wir uns also folgendes überlegt:

Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Ist $f$ ein Isomorphismus, so bildet $f$ Basen von $V$ auf Basen von $W$ ab.

Wir stellen uns andersherum die Frage: Wenn eine lineare Abbildung eine Basis auf eine Basis schickt, ist sie dann bereits ein Isomorphismus? Wie wir im folgenden Satz sehen, reicht dies tatsächlich aus:

Vorlage:Anker In diesem Fall, wo wir eine Bijektion zwischen Basen gegeben haben, gibt es eine schöne Beschreibung der Umkerhabbildung von $f$: Wir wissen, dass $f^{-1}$ durch die Bedingungen $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_V$ und $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_W$ charakterisiert ist. Weiter sagt uns das Prinzip der linearen Fortsetzung, dass wir $f^{-1}$ nur auf einer Basis von $W$ kennen müssen, um es vollständig zu beschreiben. Nun haben wir schon die Basis $B_W$ von W gewählt. Das heißt, uns interessiert $f^{-1}(b_W)$ für $b_W\in B_W$. Weil $h$ bijektiv ist, gibt es genau ein $b_V\in B_V$ mit $h(b_V)=b_W$. Daher erhalten wir $f^{-1}(b_W)=f^{-1}(f(b_V))=b_V$ aus den obigen Bedingungen. Wie können wir nun dieses Element $b_V$ genauer beschreiben? $b_V$ ist das eindeutige Urbild von $b_W$ unter $h$. Also ist $b_V=h^{-1}(b_W)$. Mit anderen Worten ist $f^{-1}$ die von $h^{-1}$ induzierte lineare Abbildung von $W$ nach $V$.

Klassifikation endlich dimensionaler Vektorräume Vorlage:Anker

Stellen wir uns nun die Frage, wann man im endlich dimensionalen Fall von isomorphen Vektorräumen sprechen kann. Wir betrachten also den Fall, dass $V$ und $W$ endlich dimensionale Vektorräume sind, d.h. wir haben Basen $\{b_1,\dots ,b_n\}$ von $V$ und $\{c_1,\dots ,c_m\}$ von $W$. Aus dem vorherigen Satz wissen wir, dass ein Isomorphismus durch die Bijektion der Basen eindeutig charakterisiert ist. Wann finden wir eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen? Genau dann, wenn sie die gleiche Mächtigkeit haben. Also genau dann, wenn $V$ und $W$ die gleiche Dimension haben:

Wir haben gezeigt, dass $K$-Vektorräume gleicher Dimension $n$ isomorph sind. Insbesondere sind alle solchen Vektorräume isomorph zum Vektorraum $K^n$. Weil der $K^n$ ein gut beschreibbares Modell für einen Vektorraum ist, wollen wir den im letzten Satz konstruierten Isomorphismus genauer untersuchen.

Sei $V$ ein $n$-Dimensionaler $K$-Vektorraum. Wir verfolgen jetzt den Beweis des letzten Satzes, um die Konstruktion des Isomorphismus zu verstehen. Wir benutzen, dass Basen von $V$ und von $K^n$ gleichmächtig sind. Für den Isomorphismus konstruieren wir eine Bijektion zwischen einer Basis von $V$ und einer Basis von $K^n$. Der $K^n$ hat als kanonische Basis die Standardbasis; diese bezeichnen wir wie immer mit $E:=\{e_1,\dots ,e_n\}$.

Wenn wir den Beweis des letzten Satzes nachvollziehen, sehen wir, dass wir eine Basis von $V$ und eine Basis von $K^n$ wählen müssen. Für den $K^n$ wählen wir die Standardbasis und für $V$ irgendeine Basis $B$ von $V$. Als nächstest benötigen wir eine Bijektion $h:E\to B$ zwischen der Standardbasis und der Basis $B$. Das heißt, wir müssen jedem $e_i$ genau ein $b\in B$ zuordnen. Wir können damit die Bilder der $e_i$ benennen als $b_i=h(e_i)$. Weil $h$ bijektiv ist, erhalten wir $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$. Im Wesentlichen haben wir die Elemente von B damit durchnummeriert. Tatsächlich ist ein Durchnummerieren der Elemente von $B$ das gleiche wie das Angeben einer Bijektion von $E$ nach $B$, da wir $e_i$ einfach auf das $i$-te Element von $B$ abbilden können.

Das Prinzip der linearen Fortsetzung liefert uns nun einen Isomorphismus $f:K^n\to V$. Wenn wir dieses Prinzip nachverfolgen, sendet sie den Vektor $(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in K^n$ auf das Element $f((x_1,\dots ,x_n{)}^T)=x_1\cdot b_1+\dots +x_n\cdot b_n$. Wir wollen den Isomorphismus $f$ besser verstehen. Dafür wollen wir uns zusätzlich die Umkehrabbildung von $f$ ansehen.

Wir haben uns oben schon überlegt, wie die Abbildung $f^{-1}$ in diesem Fall aussieht. Die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ist die von $h^{-1}$ induzierte Abbildung. Das heißt, sie bildet ein Basiselement $b_i\in B$ auf $h^{-1}(b_i)=e_i$ ab. Was heißt das nun konkret für einen Vektor $v\in V$? Wir schreiben $v$ als Linearkombination unserer Basis $v={\lambda }_1{b}_1+\dots +{\lambda }_n{b}_n$. Die Abbildung $f^{-1}$ schickt nun $v$ auf $f^{-1}(v)=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$. Die ${\lambda }_i$ beschreiben, wo sich $v$ in Bezug auf die Basisvektoren $b_i$ befindet. Das ist genau wie bei der GPS-Koordinate, die einem seine Position zu gewissen Ankerpunkten (dort Nullmeridian und Äquator) angibt. Daher können wir sagen, dass $f^{-1}$ jeden Vektor auf seine Koordinaten bezüglich der Basis $B$ schickt.

Wir wollen nun untersuchen, von wie vielen Wahlen die Konstruktion der Koordinatenabbildung abhänkt.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel Die Koordinatenabbildung ist abhängig von der Wahl der Basis. Hat man verschiedene Basen, so erhält man verschiedene Zuordnungen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel Auch wenn wir nur die Nummerierung der Elemente einer Basis ändern, erhalten wir schon verschiedene Koordinatenabbildungen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Damit wir von der Koordinatenabbildung sprechen können, müssen wir auch die Reihenfolge der Basiselemente festlegen. Eine Basis, bei der man auch die Reihenfolge der Basiselemente festlegt, nennen wir geordnete Basis. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mit diesem Begriff können wir die Notation der Koordinatenabbildung vereinfachen. Ist $B=(b_1,\dots ,b_n)$ eine geordnete Basis, so bezeichnen wir die Koordinatenabbildung $k_{b_1,\dots ,b_n}$ auch als $k_B$.

Wir haben jetzt über eine Klasse von Isomorphismen von $V$ nach $K^n$ gesprochen. Gibt es noch andere Isomorphismen von $V$ nach $K^n$? Das heißt, gibt es Isomorphismen, die keine Koordinatenabbildungen sind? Tatsächlich ist jeder Isomorphismus von $V$ nach $K^n$ eine Koordinatenabbildung bezüglich einer passenden Basis.

Aufgaben

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