Mathe für Nicht-Freaks: Matrizenmultiplikation

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} In diesem Artikel überlegen wir uns, wie man eine Multiplikation für Matrizen definieren kann. Wir werden sehen, dass die Matrizenmultiplikation der Komposition linearer Abbildungen entspricht. Außerdem beweisen wir einige Eigenschaften der Matrixmultiplikation.

Einführung

Wie können wir Matrizen verknüpfen?

Im Artikel zu Abbildungsmatrizen haben wir gelernt, wie wir mithilfe von Matrizen lineare Abbildungen $f:V\to W$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ beschreiben können. Dafür wählen wir zuerst eine Basis $B$ von $V$ und $C$ von $W$ und bilden dann die Abbildungsmatrix $M_C^B(f)$. Diese beschreibt auf der Ebene von Koordinaten, was die lineare Abbildung $f$ mit einem Vektor $v\in V$ macht: Es gilt Vorlage:Einrücken wobei $k_B:V\to K^n$ die Koordinatenabbildung bzgl. $B$ ist, die einen Vektor $v={\lambda }_1\cdot b_1+\dots +{\lambda }_n\cdot b_n$ auf den Koordinatenvektor $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T$ bzgl. $B$ abbildet. Analog ist $k_C:W\to K^m$ die Koordinatenabbildung bzgl. $C$.

Lineare Abbildungen $f:V\to W$ und $g:W\to X$ können wir durch Hintereinanderausführung miteinander verknüpfen und erhalten eine lineare Abbildung $g\circ f:V\to X$. Können wir eine passende Verknüpfung auf Matrizen definieren? Mit passend ist gemeint, dass die Verknüpfung der entsprechenden Abbildungsmatrizen die verknüpfte lineare Abbildung beschreiben soll.

Betrachten wir zum Beispiel zwei Matrizen $A\in K^{m\times l}$ und $B\in K^{p\times n}$ mit den entsprechenden linearen Abbildungen Vorlage:Einrücken und Vorlage:Einrücken gegeben durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Dann ist $A$ die Abbildungsmatrix von $f_A$ (bzgl. der Standardbasen in $K^l$ und $K^m$) und $B$ ist die Abbildungsmatrix von $f_B$ (bzgl. der Standardbasen in $K^p$ und $K^n$). Die Verknüpfung $A\cdot B$ von $A$ und $B$ sollte die Abbildungsmatrix von $f_A\circ f_B$ sein.

Um jedoch die Abbildungen $f_A$ und $f_B$ hintereinander ausführen zu können, muss der Zielraum von $f_B$ gleich der Definitionsmenge von $f_A$ sein. Das heißt, es soll $K^p=K^l$, also $p=l$ sein. Also muss die Anzahl der Spalten von $A$ gleich der Anzahl der Zeilen von $B$ sein, damit wir die Matrizen zu einer neuen Matrix $A\cdot B$ verknüpfen können.

Berechnung der neuen Matrix

Wir wollen uns überlegen, wie die Verknüpfung $A\cdot B$ von $A$ und $B$ aussehen sollte, indem wir die Abbildungsmatrix von $f_A\circ f_B:K^n\to K^m$ bestimmen. Dafür müssen wir die Bilder der Standardbasisvektoren $e_1,\dots ,e_n\in K^n$ unter der Abbildung $f_A\circ f_B$ berechnen. Sie bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix von $f_A\circ f_B$.

Wir bezeichnen die Einträge von $A$ mit $a_{ij}$ und die von $B$ mit $b_{ij}$, das heißt $A=(a_{ij})\in K^{m\times p}$ und $B=(b_{ij})\in K^{p\times n}$. Außerdem bezeichnen wir die gesuchte Abbildungsmatrix von $f_A\circ f_B$ mit $C=(c_{ij})\in K^{m\times n}$.

Für $i\in \{1,\dots ,m\}$ und $j\in \{1,\dots ,n\}$ ist der Eintrag $c_{ij}$ per Definition der darstellenden Matrix von $f_A\circ f_B$ gegeben durch den $i$-ten Eintrag des Vektors $f_A(f_B(e_j))\in K^m$. Diesen können wir mithilfe der Definition von $f_A$ und $f_B$ unter Verwendung der Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation leicht berechnen: Vorlage:Einrücken Damit sind alle Einträge der Matrix $C$ definiert und es gilt Vorlage:Einrücken Wir nennen $C$ das Produkt der beiden Matrizen $A$ und $B$ und schreiben $C=A\cdot B$ für die Matrixmultiplikation.

Definition und Merkregel

Mathematisch können wir die Matrizenmultiplikation auch als Verknüpfung (ähnlich wie die Multiplikation von reellen Zahlen) auffassen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Allerdings gibt es einen wichtigen Unterschied zur Multiplikation von reellen Zahlen: Bei Matrizen müssen wir beachten, dass die Dimensionen der Matrizen, die wir multiplizieren wollen, zusammenpassen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Warnung

Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.

Merkregel: Zeile mal Spalte

Nach der Definition ist jeder Eintrag im Produkt $A\cdot B$ die komponentenweise Multiplikation der Elemente der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $k$-ten Spalte von $B$ und die Summation all dieser Produkte. Dieses Vorgehen kann man sich merken als Zeile mal Spalte, wie es in der Abbildung rechts gezeigt ist. Beim Rechnen kann das Falksche Schema helfen, um mit Zeilen und Spalten nicht durcheinander zu kommen.

Konkretes Beispiel

Beispiel 1

Wir betrachten die folgenden zwei Matrizen $A\in {ℝ}^{2\times 3}$ und $B\in {ℝ}^{3\times 4}$: Vorlage:Einrücken Wir suchen das Matrixprodukt $C=A\cdot B\in {ℝ}^{2\times 4}$. Diese Matrix hat die Form Vorlage:Einrücken Wir müssen die einzelnen Einträge $c_{ik}$ berechnen. Das machen wir hier einmal ausführlich für den Eintrag $c_{23}$. Die Berechnung der anderen Einträge funktioniert ähnlich.

Laut Formel gilt Vorlage:Einrücken

Diese Berechnung kann man sich auch als "Multiplikation" der 2. Zeile von $A$ mit der 3.Spalte von $B$ merken. Um das zu veranschaulichen markieren wir die Einträge aus der Summe in den Matrizen. Wir haben die Summe Vorlage:Einrücken In den Matrizen sind das folgende Einträge: Vorlage:Einrücken So kann man auch die anderen Einträge von $C$ bestimmen und erhält Vorlage:Einrücken

Beispiel 2

Wir betrachten folgende Matrizen $A\in {ℝ}^{1\times 3}$ und $B\in {ℝ}^{3\times 1}$: Vorlage:Einrücken In diesem Fall können wir sowohl $A\cdot B$ als auch $B\cdot A$ berechnen. Sei $C:=A\cdot B$. Dann ist $C$ eine $1\times 1$-Matrix $C=(c_{11})$. Wir berechnen den Eintrag: Vorlage:Einrücken Also ist $A\cdot B=(1)$.

Sei $D:=B\cdot A$. Dann ist $D$ eine $3\times 3$-Matrix. Wir können die Einträge von $D$ durch "Zeile mal Spalte" berechnen. Zum Beispiel ist der erste Eintrag von $D$ die erste Zeile von $B$ mal die erste Spalte von $A$, d.h. $1\cdot 5=5$. Machen wir das mit jedem Eintrag, erhalten wir Vorlage:Einrücken

Beispiel 3

In diesem Beispiel wollen wir uns klarmachen, dass die Matrixmulitplikation tatsächlich die Verknüpfung der einzelnen Abbildungen ist. Was ist damit gemeint? Wenn wir zwei Matrizen $A$ und $B$ haben, die wir miteinander verknüpfen können, und einen Vektor $v$, dann sollte $(A\cdot B)v=A(Bv)$ sein. Um uns das verständlicher zu machen, betrachten wir folgendes Beispiel: Seien $A\in {ℂ}^{2\times 2}$ und $B\in {ℂ}^{2\times 3}$ die folgenden Matrizen mit Einträgen in $ℂ$:

Vorlage:Einrücken Sei außerdem $v=(2,0,1{)}^T$. Wir prüfen nach, dass $(A\cdot B)v=A(Bv)$. Dafür berechnen wir zunächst das Matrixprodukt $A\cdot B$: Vorlage:Einrücken Nun multiplizieren wir diese Matrix mit $v$: Vorlage:Einrücken Als nächstes berechnen wir $A(Bv)$. Vorlage:Einrücken Auf diesen Vektor wenden wir jetzt $A$ an: Vorlage:Einrücken Tatsächlich gilt hier $(A\cdot B)v=A(Bv)$.

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

Wir sammeln ein paar Eigenschaften der Matrixmultiplikation.

Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen

Der folgende Satz zeigt, dass die Matrixmultiplikation tatsächlich die Verknüpfung linearer Abbildungen widerspiegelt. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Distributivität der Matrizenmultiplikation

Hier müssen wir besonders darauf achten, dass die Matrizen, die wir multiplizieren wollen, jeweils vom Typ zusammenpassen.

Links- und rechtsneutrales Element der Matrizenmultiplikation

Wir bezeichnen die Einträge der Einheitsmatrix mit ${\delta }_{ij}$, d.h. $I_m=({\delta }_{ij})$. Es gilt Vorlage:Einrücken

Weiterführendes

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