Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungssysteme und Matrizen

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Einführendes Beispiel aus der Praxis

Lineare Abhängigkeiten treten in der Praxis oft auf. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Zusammenhang zu linearen Abbildungen

Wie der Name bereits verrät, gibt es einen wichtigen Zusammenhang zwischen linearen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen. Betrachten wir zum Beispiel das lineare Gleichungssystem

Diese beiden Gleichungen können wir in eine Gleichung zusammenfassen, indem wir die vektorielle Schreibweise benutzen. Die linke Seite ist ein Vektor aus Variablen $v,w$, die rechte ist ein konstanter Vektor. Wir können damit die Spalten des Gleichungssystems als Vektoren schreiben und erhalten

Die linke Seite hängt von den Variablen $v$ und $w$ ab. Diese können wir durch eine Funktion

beschreiben. Wir erhalten damit die Gleichung

$f$ ist eine lineare Abbildung.

Wir haben obiges Gleichungssystem in eine Gleichung für eine lineare Abbildung umgeschrieben, die als Ergebnis einen konstanten Vektor hat. In anderen Worten ist die Suche nach einer Lösung von obigem Gleichungssystem die gleiche, wie die Suche nach einem Urbild der rechten Seite unter $f$. Tatsächlich erhalten wir die Koeffizientenmatrix von obigem Gleichungssystem als Darstellungsmatrix von $f$ bezüglich der Basis $(1,0{)}^T,(0,1{)}^T$.

Allgemeiner finden wir zu einem linearen Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten über einem Körper $K$ folgendermaßen eine lineare Abbildung $f:K^n\to K^m$: Sei $A\in K^{m\times n}$ die Koeffizientenmatrix und $b\in K^m$ die rechte Seite des Gleichungssystems. Dann setzen wir $f(x):=Ax$. Dies ist linear und stimmt mit obiger Konstruktion überein. Dann entspricht die Suche nach einer Lösung des Gleichungssystems der Suche nach einem Urbild von $b$ unter $f$.

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