Mathe für Nicht-Freaks: Axiomatische Mengenlehre

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Es wurden verschiedene axiomatische Mengenlehren entwickelt. Die aktuell gebräuchlichste ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC. Sie ist nach den beiden deutschen Mathematikern Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt, die sie von 1908 bis 1922 entwickelten. Das C in der Bezeichnung steht für "Axiom of Choice" (Auswahlaxiom).

Wie am Ende des Kapitels "Russells Antinomie und Klassen" beschrieben, legen wir eine klassentheoretische Sprache zugrunde, in der beliebige Klassen mit dem Klassenbildungsoperator $\{x|\dots \}$ gebildet werden können. Insbesondere ist $𝒱:=\{x|x=x\}$ die Allklasse, für deren Elemente auch die Variablen $x,y,z,\dots$ stehen, und $ℛ:=\{x|x\notin x\}$ die Russellsche Klasse.

Wir wissen bereits, dass nicht alle Klassen Mengen sind, denn es gilt ja $ℛ\notin 𝒱$. Die Axiome von ZFC sorgen nun dafür, dass viele Klassen Mengen sind. So viele, dass sie für die Mathematik ausreichen. Um die Axiome zu verstehen, hilft die Vorstellung, dass Mengen kleine Klassen sind.

Extensionalität

Das erste Axiom gilt bereits für Klassen:

Die Extensionalität haben wir bereits im 1. Kapitel der Mengenlehre kennen gelernt. Die umgekehrte Richtung ($\Leftarrow$) gilt auch, das ergibt sich aus den Eigenschaften von $=$.

Leere Menge

Die leere Klasse hat keine Elemente und ist wie folgt definiert: $\varnothing :=\{x|x\ne x\}$. Nach dem Extensionalitätsaxiom gibt es nur eine leere Klasse, denn wenn $𝒦$ ebenfalls keine Elemente hat, gilt $\mathrm{\forall }x:(x\in 𝒦\iff x\in \varnothing )$ und daraus folgt $𝒦=\varnothing$.

Axiom der leeren Menge Vorlage:Einrücken

Paarmengen

Nicht nur die leere Klasse, auch Klassen mit zwei Elementen sind klein. Das folgende Axiom stellt sicher, dass sie Mengen sind:

Paarmengenaxiom Vorlage:Einrücken

Mit Hilfe des Paarmengenaxioms lassen sich geordnete Paare definieren. Geordnete Paare sind die Elemente des kartesischen Produkts $𝒜\times ℬ:=\{(x,y)|x\in 𝒜\wedge y\in ℬ\}$. Während die Reihenfolge der Elemente bei den Paarmengen keine Rolle spielt, ist sie bei geordneten Paaren wesentlich. Im allgemeinen ist $(a,b)\ne (b,a)$ und $(a,a)\ne a$. Zwei geordnete Paare sind nur dann gleich, wenn beide Komponenten gleich sind. Weiterhin sollen geordnete Paare Mengen sein, denn sie sollen ja als Elemente verwendet werden! Insgesamt soll also gelten:

1. $a,b\in 𝒱\Rightarrow (a,b)\in 𝒱$
2. $(a_1,b_1)=(a_2,b_2)\Rightarrow a_1=a_2\wedge b_1=b_2$

Die heute übliche Paardefinition in der Mengenlehre stammt vom polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und ist nach ihm benannt. Die Idee ist folgende: die erste Komponente des geordneten Paares $(a,b)$ wird als Einermenge, die zweite als Zweiermenge dargestellt und beides wird dann in einer Zweiermenge zusammengefasst:

Wir haben die Definition für beliebige Klassen definiert, aber wenn echte Klassen beteiligt sind, funktioniert das nicht wie gewünscht. Ist beispielsweise $ℬ$ eine echte Klasse, so liefert sie zur Zweiermenge keinen Beitrag, denn es gilt: $\{𝒜,ℬ\}=\{x|x=𝒜\vee x=ℬ\}=\{x|x=𝒜\}=\{𝒜\}$. Für zwei Mengen dagegen erfüllt das Kuratowski-Paar die Anforderungen:

Mit Hilfe von geordneten Paaren kann die gesamte Theorie der Relationen und Funktionen entwickelt werden.

Vereinigung

Wir haben die große Vereinigung von $𝒦$ so definiert: $\bigcup 𝒦:=\{x|\mathrm{\exists }y\in 𝒦:x\in y\}$. Die Vereinigung sammelt also die Elemente der Elemente von $𝒦$. Die Vereinigung einer Zweierklasse ist gerade die Vereinigung der beiden Elemente: $\bigcup \{x,y\}=x\cup y$

Vereinigungsmengenaxiom Vorlage:Einrücken

Insbesondere ist $x\cup y$ eine Menge.

Mit den bisher vorgestellten Axiomen können wir folgende Reihe von Mengen erzeugen: Vorlage:Einrücken Die erste Menge hat 0 Elemente, die nächste 1, die nächste 2, die nächste 3, usw. Für die auf $x$ folgende Menge $x^{\prime }$ sammeln wir alle Elemente von $x$ ein und fügen zusätzlich $x$ selbst dazu: $x^{\prime }:=x\cup \{x\}$. Dieses Bildungsgesetz zeigt, dass die Reihe tatsächlich nur Mengen enthält: nach dem Axiom der leeren Menge gilt $\varnothing \in 𝒱$ und wenn $x\in 𝒱$ so folgt mit dem Paarmengenaxiom $\{x\}\in 𝒱$. Mit dem Vereinigungsmengenaxiom ergibt sich daraus $x\cup \{x\}\in 𝒱$.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Für eine Menge $x$ ist $x^{\prime }$ ebenfalls eine Menge! Für echte Klassen bringt die Nachfolge nichts: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage

Mit dieser Nachfolger-Funktion lassen sich die natürlichen Zahlen definieren! Auf diese Idee war 1923 der ungarisch-amerikanische Mathematiker John von Neumann gekommen. Er definierte:

$0$	$:=\varnothing$
$1$	$:=0^{\prime }$	$=0\cup \{0\}$	$=\{\varnothing \}$	$=\{0\}$
$2$	$:=1^{\prime }$	$=1\cup \{1\}$	$=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$	$=\{0,1\}$
$3$	$:=2^{\prime }$	$=2\cup \{2\}$	$=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$	$=\{0,1,2\}$
$4$	$:=3^{\prime }$	$=3\cup \{3\}$	$=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\}$	$=\{0,1,2,3\}$
usw.

Auf diese Weise lässt sich jede einzelne natürliche Zahl definieren.

Aussonderung

Der große Durchschnitt von $𝒦$ wurde so definiert: $\bigcap 𝒦:=\{x|\mathrm{\forall }y\in 𝒦:x\in y\}$. Hier werden die Elemente gesammelt, die in allen Elementen von $𝒦$ legen. Der Durchschnitt einer Zweierklasse ist der Durchschnitt seiner beiden Elemente: $\bigcap \{x,y\}=x\cap y$

Mit den bisherigen Axiomen können wir noch nicht zeigen, dass der Durchschnitt zweier Mengen wieder eine Menge ist. In der zweiten Verständnisfrage haben wir gesehen, dass der Durchschnitt einer nichtleeren Klasse immer eine Teilklasse einer Menge ist. Und es passt gut zu unsrer Vorstellung von kleinen Klassen, wenn solche Teilklassen ebenfalls Mengen sind:

Aussonderungsaxiom Vorlage:Einrücken

Das Axiom gilt für beliebige Klassen $𝒦$. Da es ja zu jeder Formel $\varphi (x)$ die Klasse $\{x|\varphi (x)\}$ gibt, wird dieses Axiom oft als Axiomenschema bezeichnet.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Beide Formulierungen sind gleichwertig zum Aussonderungsaxiom. Denn mit der Definition $A(y):=y\in ℳ$ erhalten wir aus 1. $\mathrm{\forall }x:\{y\in x|y\in ℳ\}\in 𝒱$. Und weil $\{y\in x|y\in ℳ\}=(ℳ\cap x)$ ist, folgt daraus 2. $\mathrm{\forall }x:ℳ\cap x\in 𝒱$. Aus 2. folgt das Aussonderungsaxiom, denn wenn $𝒦\subseteq x$ gilt, ist $𝒦=𝒦\cap x\in 𝒱$. Zusammen mit der Aufgabe haben wir folgendes gezeigt: Aussonderungsaxiom $⟹$ 1. und 1. $⟹$ 2. und 2. $⟹$ Aussonderungsaxion. Das zeigt, das alle drei Aussagen äquivalent sind. Vgl. Kapitel "Wahrheitstabelle".

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Oberklassen von echten Klassen sind also ebenfalls echte Klassen und keine Mengen. Das entspricht unserer Vorstellung, dass Mengen kleine Klassen sind.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Mit $ℳ$ haben wir eine Menge gefunden, die kein Element der Menge $𝒜$ ist. Aus dem Hilfssatz ergibt sich, dass die Allklasse $𝒱$ keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Denn wäre $𝒱$ eine Menge, gäbe es eine Menge $ℳ$, die nicht in $𝒱$ läge. ↯ Also gilt:

Anmerkung: Die Konstruktion von $ℳ$ entspricht der Russellschen Klasse $ℛ$. Aus dem Beweis des Hilfssatzes ergibt sich auch, dass $ℳ\notin ℳ$ gilt.

Ist $𝒦$ eine Menge, so ist das Komplement ${𝒦}^{\complement }$ eine echte Klasse. Auch hierin spiegelt sich unsere Vorstellung wider, dass Mengen "kleine" Klassen sind! Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage

Ersetzung

Wir benutzen die folgenden Schreibweisen und Definitionen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Ersetzungsaxiom Vorlage:Einrücken

Mit anderen Worten: ersetzt man die Elemente einer Menge durch andere Elemente, so erhält man wieder eine Menge. Auch dieses Axiom gilt für eine beliebige Klasse $f$ und wird daher oft als Axiomenschema bezeichnet. Als Anwendung zeigen wir, dass die Vereinigung von mengenvielen Mengen wieder eine Menge ergibt.

Potenzmenge

Zur Erinnerung: $𝒫(𝒦):=\{x|x\subseteq 𝒦\}$. Wir können mit den bisherigen Axiomen nicht nachweisen, dass die Potenzklasse einer Menge wieder eine Menge ist! Daher fordern wir es in einem eigenen Axiom:

Potenzmengenaxiom Vorlage:Einrücken

Wir wollen nun zeigen, dass die Bildung von Potenzmengen zu immer größeren Mengen führt. Unser Vorstellung von Mengen als kleine Klassen wird dabei etwas belastet, aber es ist uns wichtig, dass die Klasse aller Teilmengen einer Menge wieder eine Menge ist.

Mit Hilfe von Funktionen können wir die Größe von Klassen vergleichen, ohne die Anzahl ihrer Elemente zu kennen. Diese Anzahl wird Mächtigkeit genannt. Mit den bisher vorgestellten Axiomen können wir noch nicht genau sagen, was die Anzahl bei Klassen mit unendlich vielen Elementen ist! Wir beschränken uns daher auf den Vergleich von Klassen und nennen eine Klasse $𝒜$ schmächtiger oder gleichmächtig zu $ℬ$, wenn es eine injektive Funktion gibt, die $𝒜$ in $ℬ$ abbildet. Ist $𝒜$ schmächtiger als $ℬ$, so ist $ℬ$ mächtiger als $𝒜$.

Um zu zeigen, dass $𝒜$ echt schmächtiger als $ℬ$ ist, müssen also zwei Bedingungen gezeigt werden:

1. es gibt eine injektive Funktion von $𝒜$ in $ℬ$,
2. es gibt keine bijektive Funktion von $𝒜$ auf $ℬ$.

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun beweisen, dass eine Menge $𝒜$ schmächtiger als ihre Potenzklasse $𝒫(𝒜)$ ist.

Unendlichkeit

Mit etwas Aufwand – den wir hier nicht darstellen wollen – lässt sich die Klasse $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ aller natürlichen Zahlen definieren. Dazu reichen die bisher vorgestellten Axiome völlig aus. Wir nutzen hier zur Definition von $\mathbb{N}$ die Eigenschaft, dass sich die natürlichen Zahlen schrittweise als Nachfolger erzeugen lassen. Klassen, die die leere Menge enthalten und mit jedem Element auch den Nachfolger dieses Elements, heißen induktiv:

Nach dieser Definition sind die natürlichen Zahlen offensichtlich in allen induktiven Klassen enthalten. Wir definieren daher: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Achtung! Diese Definition liefert nur dann das Gewünschte, wenn $\{x|xistinduktiv\}$ nicht leer ist. Gibt es keine induktiven Mengen, geht der Durchschnitt über die leere Menge und liefert $𝒱$, wie im Abschnitt Aussonderung gezeigt. Es muss also eine induktive Menge geben, damit die Definition von $\mathbb{N}$ in Ordnung ist. Genau das ist der Inhalt des Unendlichkeitsaxioms:

Unendlichkeitssaxiom Vorlage:Einrücken

Mit dem Aussonderungsaxiom folgt direkt: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Da der Durchschnitt in allen induktiven Mengen enthalten ist, ist $N$ bezogen auf $\subseteq$ die kleinste induktive Menge. Die natürlichen Zahlen werden durch die fünf Peano-Axiome beschrieben. Diese werden wir nun nachweisen:

Anmerkung: Das 5. Peano-Axiom wird häufig mit Aussagenformen anstelle von Klassen formuliert:

$A(x)$ sei eine beliebige Aussageform:

$A(0)\wedge (\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}:A(x)\Rightarrow A(x^{\prime }))\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}:A(x)$

Wegen $𝒦=\{x|A(x)\}$ sind mit $A(x):⟺x\in 𝒦$ beide Formulierungen gleichwertig.

Fundierung

Mengen können – im Gegensatz zu echten Klassen – als Elemente auftreten. Dabei kann es zu Merkwürdigkeiten kommen, beispielsweise dass $x\in x$ gilt. Wir wollen das näher untersuchen, dabei ist die folgende Definition hilfreich:

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Wenn also ein $\in$-minimales Element in $𝒦$ überhaupt Elemente hat, dann liegen sie nicht in $𝒦$. Das folgende Axiom fordert, dass jede nichtleere Menge $\in$-minimale Elemente hat:

Fundierungsaxiom Vorlage:Einrücken

Mit diesem Axiom werden keine weiteren Mengen erzeugt, ganz im Gegenteil: Damit werden Folgen wie   $x\in x$,   $x\in y\in x$,   $x\in y\in z\in x$,   usw. ausgeschlossen. Es gibt also keine unendlich lang absteigende $\in$-Ketten. Daher kommt auch die Bezeichnung "Fundierung". Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Dieses Axiom hat rein praktische Gründe: auf dieses Weise werden unbequeme Mengen ausgeschlossen und die Mengenlehre wird einfacher. Die Mathematik kommt im Wesentlichen mit fundierten Mengen aus.

Auswahl

Auswahlaxiom Vorlage:Einrücken

Wir lesen dieses Axiom schrittweise: $x$ sei eine beliebige Menge.
Die Prämisse besagt: $\underset{dieElementevonx}{\underbrace{\mathrm{\forall }y\in x:}}$   $\underset{sindnichtleer}{\underbrace{y\ne \varnothing }}$   $\underset{und}{\underbrace{\wedge |}}$   $\underset{paarweisedisjunkt}{\underbrace{\mathrm{\forall }y,z\in x:(y\ne z\Rightarrow y\cap z=\varnothing )}}$

Die Konklusion besagt: $\underset{esgibteineMengew,die}{\underbrace{\mathrm{\exists }w|}}$   $\underset{ausjedemElementvonx}{\underbrace{\mathrm{\forall }y\in x}}$   $\underset{genaueinElemententhalt}{\underbrace{\mathrm{\exists }!z\in w:z\in y}}$

Insgesamt heißt das also: Zu einer Menge $x$ deren Elemente nicht leer und paarweise disjunkt sind, gibt es eine Menge $w$, die aus jedem Element von $x$ genau ein Element enthält, also auswählt. Die Menge $x$ ist eine Partition der Menge $\bigcup x$ und die Menge $w$ wählt aus jedem Teil der Partition einen Repräsentanten aus:

Partition (links) mit Auswahlmenge (rechts)

Das Auswahlaxiom sieht harmlos aus, hat aber erhebliche Auswirkungen. Es gibt eine Reihe von wichtigen Sätzen, die auf der Basis der übrigen Axiome zum Auswahlaxiom gleichwertig sind, unter anderem die folgenden:

• Wohlordnungssatz: Jede Menge lässt sich wohlordnen.
• Zornsches Lemma: Ist jede Kette einer halbgeordneten Menge nach oben beschränkt, hat die Menge ein maximales Element.

Wir wollen hier aber die Vorstellung der Axiome von ZFC beenden.

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