Mathe für Nicht-Freaks: Mächtigkeit von Mengen

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In diesem Kapitel werden wir uns mit der Frage beschäftigen, wann zwei Mengen gleich groß sind. Hier werden wir insbesondere „unendliche“ Mengen auf ihre Größe untersuchen. Dabei werden wir auf Ergebnisse stoßen, die scheinbar paradox sind und unserer Erwartung widersprechen. Dies ist auch der Grund, warum viele Mathematiker die Frage nach der Größe unendlicher Mengen vermieden haben oder ihre erste Beantwortung durch Georg Cantor (1845-1918) abgelehnt haben. So schrieb Carl Friedrich Gauß (1777-1855):

„Ich verabscheue es, wenn ein unendliches Objekt wie ein vollständig gegebenes Objekt verwendet wird. In der Mathematik ist diese Operation verboten; das Unendliche ist eine Redensart.“

Wir werden in diesem Kapitel sehr ausführlich das Unendliche untersuchen.

Bevor wir aber der Frage nach der Größe unendlicher Mengen nachgehen, beantworte bitte für dich folgende Fragen (du kannst auch „aus dem Bauch heraus“ antworten):

Wann sind zwei Mengen gleich groß?

Die Grundfrage

Wann besitzen zwei Mengen $A$ und $B$ gleich viele Elemente? Im Fall, dass $A$ und $B$ endliche Mengen sind, ist diese Frage einfach zu beantworten: Man zählt die Elemente beider Mengen und vergleicht diese Anzahl miteinander. Doch diese Methode kann nicht auf den Fall übertragen werden, dass eine der beiden Mengen unendlich ist.

Nun könnte man annehmen, dass alle unendlichen Mengen gleich groß sind. Schließlich bezeichnen wir die Größe dieser Menge in unserer Alltagssprache mit demselben Wort: „Unendlich“. Wir werden aber sehen, dass diese Annahme zu nicht sinnvollen Ergebnissen führen würde und dass es unterschiedliche Arten der Unendlichkeit gibt.

Da das Zählen der Elemente bei unendlichen Mengen fehlschlägt, müssen wir eine andere Methode finden, Mengen miteinander zu vergleichen. Schauen wir uns ein Beispiel aus der endlichen Welt an: Stell dir vor, dass du zwei Kisten mit unterschiedlich großen Steinen hast und wissen willst, in welcher Kiste mehr Steine sind. Leider hast du keinerlei Messgeräte und zählen kannst du auch nicht. Wie kannst du vorgehen?

Was haben wir hier gemacht? Wir haben zwei endliche Mengen $A$ und $B$, die wir vergleichen wollen. Nun haben wir nacheinander jeweils ein Element $a\in A$ und ein Element $b\in B$ einander zugeordnet. Dabei war diese Zuordnung eineindeutig. „Eineindeutig“ bedeutet, dass dem Element $a$ ein eindeutiges $b$ und dem Element $b$ ein eindeutiges Element $a$ zugeordnet wird. Waren wir damit in dem Sinn erfolgreich, dass wir jedem $a\in A$ ein eindeutiges $b\in B$ und jedem $b\in B$ ein eindeutiges $a\in A$ zuordnen konnten, dann sind beide Mengen gleich groß. Ist eine solche eineindeutige Zuordnung zwischen den Mengen $A$ und $B$ unmöglich, sind beide Mengen unterschiedlich groß.

Eine solche eineindeutige Zuordnung zwischen zwei Mengen ist aber nichts anderes als eine bijektive Abbildung zwischen diesen beiden Mengen. Dementsprechend sind zwei endliche Mengen genau dann gleich groß, wenn es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt. Dieses Merkmal gleich großer endlicher Mengen kann auch auf unendliche Mengen übertragen werden.

Bei der Übertragung auf unendliche Mengen müssen wir aber vorsichtig sein. Es tritt nämlich etwas auf, was bei endlichen Mengen nicht auftritt. Bei endlichen Mengen ist es egal, wie wir die Elemente der Mengen paarweise zuordnen. Bei unendlichen Mengen ist es nicht egal, wie die folgenden Beispiele zeigen:

Im Beispiel 1 ist die Zahl $0$ kein Bild der Funktion $f$. Bei dieser Zuordnung bleibt die Zahl $0$ übrig. Im Beispiel 2 gilt ${\mathbb{N}}^{+}⊊{\mathbb{N}}_0$, aber $g$ ist bijektiv und bei dieser Zuordnung bleiben keine Elemente übrig. Also ist eine echte Teilmenge zur gesamten Menge "gleich groß". Wir können daher nicht verlangen, dass alle injektiven Funktionen zwei gleichgroße unendliche Mengen bijektiv aufeinander abbilden. Es muss genügen, wenn wir eine bijektive Abbildung finden, damit zwei unendliche Mengen gleich groß sind.

Wir haben also eine Methode gefunden, zwei Mengen miteinander zu vergleichen: Zwei Mengen sind genau dann gleich groß, wenn eine bijektive Abbildung zwischen ihnen möglich ist. An dieser Stelle möchten wir noch darauf hinweisen, dass in der Mathematik eher von der Mächtigkeit als von der Größe von Mengen die Rede ist. So würde ein Mathematiker anstatt „zwei Mengen sind gleich groß“ eher „zwei Mengen sind gleichmächtig“ sagen.

Sind zwei Mengen nicht gleichmächtig, dann bleiben beim Vergleich bei einer der beiden Mengen Elemente übrig. Wir erhalten dann keine bijektive Abbildung, sondern nur eine injektive. Ist $f:A⟼B$ Injektiv, haben wir aber allen Elementen aus $A$ ein Element aus $B$ zugeordnet, so ist $A$ auf jeden Fall nicht mächtiger als $B$. Wir definieren daher:

Beachte, dass diese Definition den Fall der Gleichmächtigkeit einschließt! Den Zusammenhang zwischen den beiden Definitionen liefert der Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein-Schröder:

Dieser Satz liefert ein weiteres Kriterium dafür, wie die Gleichmächtigkeit zweier Mengen bewiesen werden kann. Indem nämlich zwei Funktionen angegeben werden: $f:A⟼B\text{ injektiv}$ und $g:B⟼A\text{ injektiv}$. Den Beweis des Äquivalenzsatzes führen wir hier.

Beispiele

Schauen wir uns nun die obigen Beispiele an, bei denen du dich intuitiv entscheiden solltest, welche Menge mehr Elemente enthält.

Menge der natürlichen Zahlen und Menge der Quadratzahlen

Welche Menge ist nun größer: Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ oder die Menge der Quadratzahlen $Q=\{n^2|n\in \mathbb{N}\}$? Ist es möglich, eine Bijektion zwischen $\mathbb{N}$ und $Q$ zu finden?

Ja, es gibt eine bijektive Abbildung zwischen $\mathbb{N}$ und $Q$, nämlich die Abbildung $f:\mathbb{N}\to Q:n\mapsto n^2$. Also die Abbildung

Es gibt also eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl eine eineindeutige Quadratzahl zuordnet. So sieht man, dass es genauso viele natürliche Zahlen gibt, wie es Quadratzahlen gibt. Dies ist ein erstes überraschendes Ergebnis: Denn aus der Tatsache, dass die Menge der Quadratzahlen eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und dass es in den meisten endlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen mehr natürliche Zahlen als Quadratzahlen gibt, könnte man vermuten, dass die Menge der natürlichen Zahlen mehr Elemente enthält als die Menge der Quadratzahlen. Dies ist aber, wie wir gerade gesehen haben, nicht der Fall.

Du siehst: Für unendliche Mengen ist der in der endlichen Welt gültige Satz „Ist $A$ eine echte Teilmenge der Menge $B$, dann besitzt $B$ mehr Elemente als $A$“ nicht mehr anwendbar.

Menge der natürlichen Zahlen und Menge der ganzen Zahlen

Kommen wir zum nächsten Beispiel:

Menge der natürlichen Zahlen und Menge der rationalen Zahlen

Auch die Menge der rationalen Zahlen ist gleich mächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen. Hier ist es jedoch nicht so einfach, selbst auf den Beweis zu kommen. Zunächst musst du die rationalen Zahlen in eine geschickte zweidimensionale Anordnung bringen:

Nun kannst du bei 0 beginnend die obige Anordnung der rationalen Zahlen so abzählen, dass jeder rationalen Zahl im Schema genau eine eindeutige natürliche Zahl zugeordnet wird:

So erhältst du folgende Abbildung der natürlichen Zahlen in die Menge der rationalen Zahlen:

Durch diese Abbildung werden zwar alle rationalen Zahlen mindestens einmal getroffen (die Abbildung ist surjektiv), aber es gibt verschiedene natürliche Zahlen, die auf dieselbe rationale Zahl abgebildet werden (die Abbildung ist nicht injektiv). So wird der 5 und der 7 dieselbe rationale Zahl -1 zugeordnet. Um nun auch die Abbildung injektiv (und damit insgesamt bijektiv) zu machen, überspringen wir beim Abzählen diejenigen rationalen Zahlen, die nicht vollständig gekürzt sind:

So erhalten wir folgende bijektive Abbildung zwischen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Q}$:

Es ist also möglich, $\mathbb{N}$ bijektiv auf $\mathbb{Q}$ abzubilden. Dies beweist, dass $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Q}$ gleich mächtig sind, also dieselbe Anzahl an Elementen besitzen. Auch dies ist eine stark kontraintuitive Feststellung, denn allein im Intervall $[0,1]$ gibt es unendlich viele rationale, aber nur zwei natürliche Zahlen.

Zur Übung kannst du nun folgende Aufgabe lösen:

Menge der natürlichen Zahlen und Menge der reellen Zahlen

Als letztes Beispiel vergleichen wir die Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen mit der Menge $ℝ$ der reellen Zahlen. Hier werden wir sehen, dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt. Doch wie kann man beweisen, dass $\mathbb{N}$ und $ℝ$ nicht gleich mächtig sind?

Wir werden diesen Beweis in zwei Schritten führen: Zunächst zeigen wir, dass die Menge der reellen Zahlen $ℝ$ und das offene Intervall $(0,1)$ gleich mächtig sind. Danach zeigen wir, dass $\mathbb{N}$ und $(0,1)$ nicht gleich mächtig sind. So haben wir gezeigt, dass auch $\mathbb{N}$ und $ℝ$ nicht gleich mächtig sind (wären $\mathbb{N}$ und $ℝ$ gleich mächtig, so wären auch $\mathbb{N}$ und $(0,1)$ gleich mächtig, was wir aber widerlegt haben).

Nun müssen wir beweisen, dass $\mathbb{N}$ und $(0,1)$ nicht gleich mächtig sein können, dass es also keine bijektive Abbildung $f:\mathbb{N}\to (0,1)$ gibt.

Sei dazu $f:\mathbb{N}\to (0,1)$ eine beliebige Abbildung. Wir können nun die einzelnen Funktionswerte dieser Funktion in ihrer Dezimalentwicklung in einer unendlich langen Liste untereinander schreiben:

Dabei steht die Variable $a_{ij}$ für die Ziffer aus der Menge $\{1,2,3,\dots ,9,0\}$, die bei der Dezimalentwicklung der Zahl $f(i)$ an der $j$-ten Nachkommastelle auftritt. Sollte eine Dezimalentwicklung einer reellen Zahl abbrechen, so füllen wir diese mit Nullen auf. So wird aus der Dezimalentwicklung 0,25 der Zahl $\frac{1}{4}$ die Dezimalentwicklung $0,2500000000\dots$

Wäre beispielsweise $f(1)=\frac{1}{2}$, $f(2)=\frac{3}{4}$, $f(3)=\frac{1}{3}$ und $f(4)=\pi -3$, so würden die ersten vier Zeilen unserer Liste so aussehen:

Nun konstruieren wir mit Hilfe der Liste eine neue Zahl $x=0,x_1{x}_2{x}_3{x}_4\dots$, welche im offenen Intervall $(0,1)$ liegt und nicht in der Liste enthalten ist. Dabei gehen wir nach folgendem Algorithmus vor:

• Wir setzen $x_1=5$, wenn $a_{11}\ne 5$ und $x_1=4$, wenn $a_{11}=5$ ist. Damit ist $x\ne f(1)$.
• Wir setzen $x_2=5$, wenn $a_{22}\ne 5$ und $x_2=4$, wenn $a_{22}=5$ ist. Damit ist $x\ne f(2)$.
• Wir setzen $x_3=5$, wenn $a_{33}\ne 5$ und $x_3=4$, wenn $a_{33}=5$ ist. Damit ist $x\ne f(3)$.
• $\dots$

Die allgemeine Regel zur Konstruktion von $x$ lautet dabei:

• Setze $x_i=5$, wenn $a_{ii}\ne 5$ ist und setze ansonsten $x_i=4$.

Diese Regel garantiert, dass $x$ sich von jedem $f(i)$ für $i\in \mathbb{N}$ unterscheidet, da sich $x$ in seiner Dezimalbruchentwicklung an der $i$-ten Nachkommastelle von $f(i)$ unterscheidet.

In unserem obigen Beispiel würden die ersten 4 Nachkommastellen von $x$ lauten:

Außerdem ist $x$ eine reelle Zahl im Intervall $(0,1)$, da als Nachkommastellen nur 4er und 5er auftreten und da $x$ keine Vorkommastellen ungleich Null besitzt. $x$ ist auch nicht in unserer Liste enthalten, was bedeutet, dass es nicht durch die Funktion $f$ getroffen wird. Dies bedeutet aber, dass $f$ nicht surjektiv ist. Also ist $f$ sicher nicht bijektiv.

Da dieser Beweis für jede Abbildung $f$ funktioniert, gibt es keine bijektive Abbildung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen. Dies beweist, dass beide Mengen nicht gleich mächtig sind, dass es also unterschiedliche Arten der Unendlichkeit gibt. Es gibt natürlich eine injektive Abbildung von $\mathbb{N}$ in $ℝ$, nämlich die Identität: $id:\mathbb{N}⟼ℝ:id(x)=x$. Also ist $ℝ$ echt mächtiger als $\mathbb{N}$.

Der obige Beweis wurde von Georg Cantor 1877 entdeckt und wird Cantors zweites Diagonalargument genannt.

Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit Vorlage:Anker

Wir haben in den Beispielen zwei verschiedene Größen von unendlichen Mengen kennengelernt: die Abzählbarkeit und die Überabzählbarkeit. Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn sie gleichmächtig mit der Menge $\mathbb{N}$ ist. Dies bedeutet, dass alle Elemente dieser Menge in einer unendlichen Liste aufgeschrieben werden können. Dies ist gleichwertig damit, dass man alle Elemente dieser Menge abzählen kann (ihr also eine eineindeutige Indexnummer zuordnen kann).

Eine höchstens abzählbare Menge ist entweder endlich oder abzählbar unendlich. Eine überabzählbare Menge ist eine Menge, die nicht höchstens abzählbar, also mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist. Eine solche Menge kann nicht in einer unendlichen Liste aufgeschrieben werden. Dafür ist sie einfach zu groß.

Die Begriffe dieses Abschnitts treten in der Mathematik oft und an verschiedenen Stellen auf. Deshalb ist es wichtig, dass du lernst, mit diesen Begriffen umzugehen.

Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein-Schröder

Wir beweisen den Satz in mehreren Schritten und zeigen zunächst die Äquivalenz mit dem Zwischenmengensatz.

Wir zeigen zunächst, dass der Äquivalenzsatz und der Zwischenmengensatz äquivalent sind:

Für den Beweis des Zwischenmengensatzes definieren wir noch eine spezielle Halbordnung: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Die Beweisidee ist folgende: wir betrachten alle injektiven Funktionen $h:A⟼B$, die zwar mehr Fixpunkte haben als die gegebene Funktion $f:A⟼B$, aber ausserhalb dieser Fixpunkte mit $f$ übereinstimmen. Je mehr Fixpunkte diese Funktionen haben, desto weniger Funktionswerte stimmen mit $f$ überein. Unter diesen Funktionen gibt es (hoffentlich) welche, deren Bildbereich weitere Elemente von $B$ umfasst. Diese müssen Fixpunkte sein, denn ansonsten sind keine Abweichungen von $f$ erlaubt. Wenn es unter den betrachteten Funktionen eine gibt, in deren Bildbereich alle Elemente von $B$ liegen, haben wir eine Bijektion $A⟼B$ gefunden.

Beispiel

Wir verwenden die Bezeichnungen wie im Beweis des Zwischenmengensatzes.

Vertiefung zum Thema Mächtigkeit

Wir haben definiert, dass zwei Mengen $A$ und $B$ genau dann gleichmächtig sind, wenn es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt: $A\sim B$. Die Relation $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Mengen.

Da die Relation $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist, zerfällt die Klasse aller Mengen unter dieser Relation in Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen. Da diese Äquivalenzklassen ebenfalls echte Klassen sind, geht man zu einem Repräsentantensystem über, den sogenannten Kardinalzahlen:

Anmerkung: Die Schreibweise $|A|$ sollte nicht mit den mit den Betragsstrichen oder der Determinantenfunktion aus der Linearen Algebra verwechselt werden.

Es ist leicht zu zeigen, dass die Relation $\le$ reflexiv und transitiv ist. Die Antisymmetrie folgt mit dem Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein-Schröder. $\le$ ist also eine Halbordnung. Mit dem Auswahlaxiom kann man zeigen, dass $\le$ eine Totalordnung ist:

Kardinalzahlen lassen sich also der Größe nach vergleichen. Sie sind verallgemeinerte natürliche Zahlen, die die Mächtigkeit einer Menge beschreiben. Im Fall einer endlichen Menge ist ihre Kardinalzahl nichts anderes als die Anzahl ihrer Elemente. Die endlichen Kardinalzahlen sind also die natürlichen Zahlen $0,1,2,3,\dots$. Beispielsweise ist $|\varnothing |=0$ und $|\{2,3\}|=2$.

$|\mathbb{N}|$ ist die kleinste Mächtigkeit, die eine unendliche Menge haben kann: man kann zeigen, dass jede unendliche Menge eine Mächtigkeit größer oder gleich $|\mathbb{N}|$ besitzt. Außerdem hat Cantor im Satz von Cantor gezeigt, dass jede Potenzmenge $𝒫(A)$ mächtiger als ihre zugrunde liegende Menge $A$ ist. Man kann zeigen, dass $|𝒫(\mathbb{N})|=|ℝ|$ ist. Es gibt also unendlich viele unendliche Kardinalzahlen!

Die unendlichen Kardinalzahlen werden mit ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots$ bezeichnet (der Buchstabe Aleph $\mathrm{\aleph }$ ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets). Es ist ${\mathrm{\aleph }}_0=|\mathbb{N}|$. Es stellt sich nun die Frage, ob ${\mathrm{\aleph }}_1=|ℝ|$ ist. Oder – anders formuliert – ob es eine Menge gibt, die mächtiger als $\mathbb{N}$, aber weniger mächtig als $ℝ$ ist. Cantor vermutete, dass dies nicht der Fall ist, konnte seine Vermutung aber nicht beweisen. Diese Vermutung wird Kontinuumshypothese genannt. Es stellte sich jedoch heraus, dass diese Hypothese in der Mengenlehre mit den Axiomen von Zermelo-Fraenkel einschliesslich Auswahlaxiom weder beweisbar noch widerlegbar ist.

Generell kann man sich fragen, ob zwischen der Kardinalzahl einer unendlichen Menge $|X|$ und der ihrer Potenzmenge $|𝒫(X)|$ noch weitere Kardinlzahlen liegen. Falls nicht, wäre ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots$ gerade $|\mathbb{N}|,|𝒫(\mathbb{N})|,|𝒫(𝒫(\mathbb{N}))|,\dots$ usw. Das ist die allgemeine Kontinuumshypothese (GCH, General Continuum Hypothesis). Aber da schon die einfache Kontinuumshypothese in ZFC nicht beweisbar ist, ist es die allgemeine auch nicht. Sie kann aber widerspruchsfrei zu den ZFC-Axiomen zugefügt werden, d. h. wenn ZFC widerspruchsfrei ist, dann ist es auch ZFC + GCH.

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