Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt

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Kartesisches Produkt Vorlage:Anker

Das kartesische Produkt ist eine besondere Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Die Schreibweise für das kartesische Produkt zwischen den Mengen $A$ und $B$ ist $A\times B$ (ausgesprochen: „$A$ kreuz $B$“). Das kartesische Produkt $A\times B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$ mit $a\in A$ und $b\in B$. So ist beispielsweise:

Man kann auch das kartesische Produkt von mehr als zwei Mengen bilden. Analog zum Fall von zwei Mengen ist das kartesische Produkt $A\times B\times C$ der drei Mengen $A$, $B$ und $C$ gleich der Menge aller 3-Tupel $(a,b,c)$ mit $a\in A$, $b\in B$ und $c\in C$:

Allgemein ist das kartesische Produkt $A_1\times A_2\times \dots \times A_n$ der $n$ Mengen $A_1$ bis $A_n$ die Menge aller n-Tupel $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ mit $a_1\in A_1$, $a_2\in A_2$ und so weiter bis $a_n\in A_n$:

Für kartesische Produkte von Mengen mit sich selber gibt es eine abkürzende Schreibweise: Es ist $M^2:=M\times M$, $M^3:=M\times M\times M$ und so weiter. Allgemein ist

Produktschreibweise

Für das kartesische Produkt $A_1\times A_2\times \dots \times A_n$ von mehreren Mengen, gibt es auch die kompaktere Schreibweise $\prod _{i=1}^n{A}_i$. Diese ist definiert durch

Du siehst, dass die obige Schreibweise ähnlich dem Produkt $\prod _{i=1}^n{a}_i$ reeller Zahlen ist, welches du vielleicht schon aus der Schule kennst. Der Unterschied ist der, dass hier anstatt Zahlen Mengen verknüpft werden und die Verknüpfung nicht die Multiplikation sondern das kartesische Produkt ist.

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