Mathe für Nicht-Freaks: Durchschnitt von Mengen

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In diesem und im nächsten Kapitel möchten wir dir den Durchschnitt beziehungsweise die Vereinigung von Mengen vorstellen, welche in Würdigung der Arbeiten von George Boole auch Boolsche Operatoren genannt werden.

Definition

Datei:Schnittmenge und Vereinigungsmenge.webm Der Durchschnitt zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge $A$ als auch der Menge $B$ sind. Ihr Symbol ist $\cap$. Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist $A\cap B$ und wird „$A$ geschnitten $B$“ ausgesprochen.

Im Mengendiagramm ist der Durchschnitt zweier Mengen gleich der Schnittfläche, der zu diesen beiden Mengen zugehörigen Flächen (hier die blaue Fläche):

Schnittmenge zweier Mengen

Dir wird vielleicht schon aufgefallen sein, dass das Symbol $\cap$ des Durchschnitts Ähnlichkeiten zur Konjunktion $\wedge$, also mit der logischen Verknüpfung für „und“ aufweist. Dies ist kein Wunder, denn $A\cap B$ bezeichnet alle Objekte, die Elemente von $A$ und $B$ sind. Die Verknüpfung $\cap$ wird in der Regel auch mit Hilfe der Konjunktion $\wedge$ definiert. Es ist nämlich

Obige Formel mit Erklärungen:

Damit können wir nun folgende Definition aufschreiben:

Durchschnitt dreier Mengen

Es ist auch möglich, den Durchschnitt von mehr als zwei Mengen zu bilden. So bezeichnet $A\cap B\cap C$ die Menge aller Objekte, die sowohl in $A$ als auch in $B$ und in $C$ enthalten sind. Diese Menge kann gebildet werden, indem zunächst $A\cap B$ bestimmt wird, welche dann wiederum mit $C$ geschnitten wird. Es ist also

Analog kann man den Schnitt von mehr als drei Mengen definieren.

Beispiele

Hier einige Beispiele für den Durchschnitt:

Hier einige Durchschnittsmengen visualisiert durch Mengendiagramme:

• 
  Durchschnitt zweier Polygonmengen
• 
  Der Durchschnitt des griechischen, kyrillischen und lateinischen Alphabets sind die Buchstaben O, T, H, P, M, A, B, X, K, Y und E

Durchschnittsmenge bilden

Schnittmenge von zwei endlichen Mengen

Zunächst schauen wir uns an, wie du die Durchschnittsmenge von endlichen Mengen bilden kannst. Nehmen wir hier als Beispiel die beiden Mengen $A=\{3,6,9\}$ und $B=\{2,3,5,9\}$. Um den Durchschnitt $A\cap B$ zu bilden, gehst du alle Elemente von $A$ durch und überprüfst, ob sie auch Elemente von $B$ sind:

Die gemeinsamen Elemente notierst du dann als Ergebnis von $A\cap B$:

Schnittmenge von mehreren endlichen Mengen

Stell dir nun vor, dass zusätzlich $C=\{7,8,9\}$ definiert ist und man $A\cap B\cap C$ bilden möchte. Hierzu bildet man zunächst $A\cap B$, was nach obigen Abschnitt gleich $\{3,9\}$ ist. Dann bildet man den Schnitt zwischen $A\cap B$ und $C$ wie wir es bereits oben gemacht haben:

Man erhält das Ergebnis:

Unendliche Schnittmengen

Wenn du allgemein den Schnitt zweier Mengen bestimmen möchtest, dann mache dir klar, wie beide Mengen definiert sind:

• Was ist die charakteristische Eigenschaft für die Elemente der beiden Mengen?
• Welche Objekte sind in beiden Mengen enthalten, erfüllen also beide charakteristischen Eigenschaften?
• Kann es solche Objekte überhaupt geben?
• Ist die Schnittmenge eine bereits bekannte Menge?
• Ist es ein Intervall oder ein bestimmter Zahlenbereich wie $\mathbb{N}$ oder ${\mathbb{Q}}^{+}$?

Wenn dir klar ist, wie die Schnittmenge aussieht, dann versuche diese, über eine Mengenschreibweise zu notieren. Mit der Zeit wirst du merken, dass dir die Schnittmengenbildung immer einfacher fallen wird.

Großer Durchschnitt Vorlage:Anker

Bisher haben wir den Durchschnitt von zwei Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in allen Elementen von $M$ enthalten sind.

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade $A\cap B$. Der "kleine" Durchschnitt $\cap$ ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts $\bigcap$.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcap _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_1,A_2,A_3,\dots ,A_i,\dots \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\bigcap _{i\in I}{A}_i$.

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