Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Satz von Wilson

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Satz von Wilson

Es ist $(p-1)!+1$ genau dann durch $p$ teilbar, wenn $p$ eine Primzahl ist!

Anders geschrieben:

$(p-1)!\equiv -1modp⟺p$ ist eine Primzahl.

Beweis (mit Polynomen und dem Satz von Vieta)

Das Polynom $X^{p-1}-1$ hat nach dem kleinen Satz von Fermat über $\mathbb{Z}/p$ die Nullstellen $1,2,\dots ,p-1$. Da sein Grad $p-1$ ist, sind dies alle Nullstellen, und es handelt sich um einfache Nullstellen. Nach dem Satz von Vieta ist das Absolutglied $-1$ bis auf das Vorzeichen $(-1{)}^{p-1}=1$ das Produkt der Nullstellen.

Hinweis: Die Tatsache, dass $p$ eine Primzahl ist, geht auch nochmals als Voraussetzung der Nullteilerfreiheit des Grundringes beim Satz von Vieta ein. So gilt generell, dass das Polynom $X^{\varphi (n)}-1$ über $\mathbb{Z}/n$ die Nullstellen $(\mathbb{Z}/n{)}^{\times }$ hat, aber beispielsweise für $n=8$ sind die Polynome $X^4-1$ und

$(X-1)(X-3)(X-5)(X-7)=X^4-2X^2+1$

verschieden.

Beweis (durch Ausnutzung der multiplikativen Gruppenstruktur)

Die Behauptung lässt sich dazu umformulieren, dass das Produkt aller Elemente der Gruppe $(\mathbb{Z}/p{)}^{\times }$ gleich $-1$ ist. Betrachtet man zu einem Element jeweils sein Inverses, so kann man diejenigen Elemente, die von ihren Inversen verschieden sind, zu Paaren zusammenfassen, die sich im Produkt jeweils aufheben. Es gilt also

$\prod _{a\in (\mathbb{Z}/p{)}^{\times }}a=\prod _{a\in (\mathbb{Z}/p{)}^{\times },a=a^{-1}}a.$

Die Bedingung $a=a^{-1}$ ist äquivalent zu $a^2=1$ oder auch zu $a^2-1=0$. Somit gilt

$0=a^2-1=(a-1)(a+1)$

Da $\mathbb{Z}/p$ nullteilerfrei ist, muss also einer der Faktoren $0$ sein, also $a=1$ oder $a=-1$. Damit berechnet man das gesuchte Produkt für alle $p>2$:

$\prod _{a\in (\mathbb{Z}/p{)}^{\times },a=a^{-1}}a=1\cdot (-1)=-1$

Wikipedia-Verweise

• Satz von Wilson