Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

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Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie

Satz: Sei $D\equiv 0,1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),$ ( $D$ kein Quadrat ) eine Fundamentaldiskriminante. Dann gibt es eine bijektive Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen bijektiv quadratischer Formen mit Diskriminante $D$ und den Äquivalenzklassen im engeren Sinne von Idealen von ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$. Insbesondere ist die Anzahl $h_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}^{+}$ der Äquivalenzklassen von Idealen im engeren Sinne gleich der Klassenzahl $h(D)$.

Beweis: Sei $𝔞$ ein von $(0)$ verschiedenes Ideal von ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}^{}$, so ist $\lambda \in 𝔞$ und wegen $(\lambda )\subseteq 𝔞$ folgt, dass $𝔞|(\lambda )$, also auch $N(𝔞)|N(\lambda )$. Damit nimmt die Abbildung

$\varphi :𝔞\to \mathbb{Q},\varphi (𝔞)=\frac{N(\lambda )}{N(𝔞)}$

Werte in $\mathbb{Z}$ an. $𝔞$ besitzt eine Basis $\{\alpha ,\beta \}$. Damit ist $𝔞=\mathbb{Z}\alpha \oplus \mathbb{Z}\beta \simeq {\mathbb{Z}}^2$ und es lässt sich $\varphi$ als Funktion $f$ auf ${\mathbb{Z}}^2$ auffassen:

$f(x,y)=\varphi (x\alpha +y\beta )=\frac{(x\alpha +y\beta )(x{\alpha }^{\prime }+y{\beta }^{\prime })}{N(𝔞)}=\frac{N(\alpha )}{N(𝔞)}{x}^2+\frac{\alpha {\beta }^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\beta }{N(𝔞)}xy+\frac{N(\beta )}{N(𝔞)}{y}^2$

Wir erhalten also eine binäre quadratische Form:

$f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}a:=\frac{N(\alpha )}{N(𝔞)},b:=\frac{\alpha {\beta }^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\beta }{N(𝔞)},c:=\frac{N(\beta )}{N(𝔞)}(2)$

Für die Diskriminante findet man leicht

$b^2-4ac=\frac{(\alpha {\beta }^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\beta {)}^2-4N(\alpha )N(\beta )}{N(𝔞{)}^2}=\frac{(\alpha {\beta }^{\prime }-{\alpha }^{\prime }\beta {)}^2}{N(𝔞{)}^2}=\frac{D(𝔞)}{N(𝔞{)}^2}=D,(3)$

wobei die Diskriminante $D(𝔞)$ definiert ist als das Quadrat der Determinante von $\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ {\alpha }^{\prime }& {\beta }^{\prime }\end{array}\right)$. Nun sind sowohl $a=\frac{N(\alpha )}{N(𝔞)},$$c=\frac{N(\beta )}{N(𝔞)}\in \mathbb{Z}$, also auch $D=b^2-4ac\in \mathbb{Z}$ und damit auch $b\in \mathbb{Z}$. Somit besitzt die Form $f$ ganzzahlige Koeffizienten und Diskriminante $D$. Ist nun $\{{\alpha }_1,{\beta }_1\}$ eine weitere Basis von $𝔞$, dann hängen $\{\alpha ,\beta \}$ und $\{{\alpha }_1,{\beta }_1\}$ durch die Matrix $T=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\in {\mathbb{Z}}^{2\times 2}$ mit Determinante $ps-qr=\pm 1$ zusammen. Aus der obigen Abbildung $\varphi$ erhalten wir die zur Basis $\{{\alpha }_1,{\beta }_1\}$ gehörende Form $f_1$, indem wir $(x,y)$ durch $(px+qy,rx+sy)$ transformieren. Eine Basis $\{\alpha ,\beta \}$ von $𝔞$ heißt positiv orientiert, wenn für die rationale Zahl $\frac{{\alpha }^{\prime }\beta -\alpha {\beta }^{\prime }}{\sqrt{D}}>0$ gilt. Diese Betrachtung ist zweckmäßig, da ${\left(\frac{{\alpha }^{\prime }\beta -\alpha {\beta }^{\prime }}{\sqrt{D}}\right)}^2=\frac{D(𝔞)}{D}=N(𝔞{)}^2$ sowohl positiv als auch reell ist. Damit hat die Matrix eines Basiswechsels zwischen positiv orientierten Basen immer die Determinante $+1$. Lässt man also nur positiv orientierte Basen zu, dann hängt die von oben definierte Form $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ bis auf echter Äquivalenz nur vom Ideal $𝔞$ und nicht von der Basiswahl ab. Ersetzen wir nun das Ideal $𝔞$ durch $(\tau )𝔞$ mit $\tau \in \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ und $N(\tau )>0$, dann ist $(\tau \alpha ,\tau \beta )$ eine positiv orientierte Basis für $(\tau )𝔞$ und $N((\tau )𝔞)=|N(\tau )|N(𝔞)=N(\tau )N(𝔞)$. Damit stimmt die zum Ideal $(\tau )𝔞$ gehörende Form

$(x,y)\mapsto \frac{N(x\tau \alpha +y\tau \beta )}{N((\tau )𝔞)}=\frac{N(\tau )N(x\alpha +y\beta )}{N(\tau )N(𝔞)}=\frac{N(x\alpha +y\beta )}{N(𝔞)}$

mit der Form $f$ überein. Es kann also in eindeutiger Weise jeder Idealklasse im engeren Sinne eine echte Äquivalenzklasse von binär quadratischen Formen mit Diskriminante $D$ zugeordnet werden. Können wir zeigen, dass die Zuordnung bijektiv ist, dann sind wir fertig. Sei also

$f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2,a,b,c,\in \mathbb{Z},b^2-4ac=D$

eine quadratische Form mit Diskriminante $D$. Nun ist $D$ eine Fundamentaldiskriminante, also ist ggT$(a,b,c)=1$ und damit $f$ eine primitive Form. Sei zunächst $a>0$. Dann erhalten wir als Lösung der quadratischen Gleichung $a{z}^2-bz+c=0$ die Nullstellen $z_1=\frac{b+\sqrt{D}}{2a},z_2=\frac{b-\sqrt{D}}{2a}$.

Nun ist $𝔞=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}{z}_1$. Wir zeigen, dass $𝔞$ ein ganzes Ideal ist. Ist nun $\tau =\frac{u+v\sqrt{d}}{2}\in {𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ mit $u,v\in \mathbb{Z},u\equiv vD$mod 2 und $\alpha =x+yz\in 𝔞$ dann ist

$\begin{array}{c}\tau \alpha =\left(\frac{u+v\sqrt{d}}{2}\right)(x+\frac{yb+y\sqrt{d}}{2a})\\ =\frac{xu}{2}+\frac{ybu}{4a}+\frac{yvD}{4a}+(\frac{xv}{2}+\frac{ybv}{4a}+\frac{uy}{4a})\sqrt{D}\\ =\frac{xu}{2}+\frac{ybu}{4a}+\frac{yv(b^2-4ac)}{4a}+(\frac{xv}{2}+\frac{ybv}{4a}+\frac{uy}{4a})(2az-b)\\ =(x\frac{u-vb}{2}-yvc)+(xva+y\frac{u+vb}{2})z,\end{array}$

und damit $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}{z}_1$. Zudem gilt: $b^2\equiv D(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4a),$ $\Rightarrow$ $b\equiv D(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),$ $\Rightarrow$ $u\equiv vD\equiv vb(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),$. Aus $\frac{z_1-z_2}{2a}>0$ erhalten wir, dass die Basis $\{1,z_1\}$ positiv orientiert ist. Das Ideal $𝔞$ hat die Diskriminante

$D(𝔞)=\det {\left(\begin{array}{cc}1& z_1\\ 1& z_2\end{array}\right)}^2=(z_1-z_2{)}^2=\frac{D}{a^2},$

und da wie in $(3)$ gesehen $\frac{D(𝔞)}{N(𝔞{)}^2}=D$ gilt, folgt $N(𝔞)=\frac{1}{a}$. Wir erhalten also für die zum Ideal $𝔞$ zugehörige Form

$(x,y)\mapsto \frac{N(x+yz)}{N(𝔞)}=\frac{x^2+\frac{b}{a}xy+\frac{c}{a}{y}^2}{\frac{1}{a}}=f(x,y).$

Ist hingegen $𝔞$ ein Ideal mit positiv orientierter Basis $\{\alpha ,\beta \}$ mit $N(\alpha )>0$, dann erhalten wir mit den Substitutionen für $a,b,c$ wie in $(2)$

$\begin{array}{c}\frac{b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{\alpha {\beta }^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\beta +N(𝔞)\sqrt{D}}{2N(\alpha )}\\ =\frac{\alpha {\beta }^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\beta +({\alpha }^{\prime }\beta -\alpha {\beta }^{\prime })}{2N(\alpha )}=\frac{\beta }{\alpha }.\end{array}$

Damit ist also $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\frac{b+\sqrt{D}}{2a}=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\frac{\beta }{\alpha }=({\alpha }^{-1})𝔞$ zum Ideal $𝔞$ Äquivalent im engeren Sinne.

Sei nun $a<0$, also $D>0$. Ist nun $\mathbb{Z}\tau \oplus \mathbb{Z}\tau z_1$ ein Ideal mit $\tau \in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$ und $N(\lambda )<0$. Dann ist $\{\lambda ,\lambda z\}$ eine positiv orientierte Basis. Die zum Ideal $𝔞$ gehörende Form ist also wiederum $f$. Insbesondere liefert jedes Ideal $𝔞$ mit positiv orientierter Basis $\{\alpha ,\beta \}$ und $N(\alpha )<0$ eine primitive Form $f$ mit $a<0$, für die das Ideal $\mathbb{Z}\tau \oplus \mathbb{Z}\tau z_1$ im engeren Sinne Äquivalent zum Ideal $𝔞$ ist. Insbesondere folgt $h_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}^{+}=h(D)$. Also ist die Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen von Formen und den Idealklassen im engeren Sinne bijektiv und der Satz damit bewiesen.

$◻$

Wikipedia-Verweise

• Geschlechtertheorie

Literatur

• Don B. Zagier: Zetafunktionen und Quadratische Körper:Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie , Springer, Berlin, 1981, 13: 9783540106036.
• Candy Walter: Quadratische Zahlkörper und die Geschlechtertheorie. Leibniz Universität Hannover, 2009, DOI: 10.13140/RG.2.2.24046.84800.