Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Formel von Bretschneider

Die Fläche eines Vierecks aus den vier Seiten und zwei gegenüber liegenden Winkeln ist

(1)   $A=A_1+A_2$

Dreiecksflächen über zwei Seiten und den Innenwinkel $A_1$ und $A_2$ siehe analog Beweisarchiv Satz des Heron Formel (3)

(1.1)   $A_1=\frac{ab\sin \beta }{2}$

(1.2)   $A_2=\frac{cd\sin \delta }{2}$

Summe und quadriert

(2.1)   $A^2={(\frac{ab\sin \beta }{2}+\frac{cd\sin \delta }{2})}^2=\frac{1}{4}{(ab\sin \beta +cd\sin \delta )}^2$

(2.2)   $A^2=\frac{1}{4}(a^2{b}^2{\sin }^2\beta +2abcd\sin \beta \sin \delta +c^2{d}^2{\sin }^2\delta )$

Nach dem Kosinussatz ist

(3.1)   $e^2=a^2+b^2-2ab\cos \beta$

(3.2)   $e^2=c^2+d^2-2cd\cos \delta$

gleichgesetzt

(3.3)   $a^2+b^2-2ab\cos \beta =c^2+d^2-2cd\cos \delta$

(3.4)   $a^2+b^2-c^2-d^2=2ab\cos \beta -2cd\cos \delta =2(ab\cos \beta -cd\cos \delta )$

quadriert

(3.5)   ${(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2=4(a^2{b}^2{\cos }^2\beta -2abcd\cos \beta \cos \delta +c^2{d}^2{\cos }^2\delta )$

Zusammenhang Sinus/Kosinus

(4.1)   ${\cos }^2\beta =1-{\sin }^2\beta$

(4.2)   ${\cos }^2\delta =1-{\sin }^2\delta$

(4.3)  $\cos (\beta +\delta )=\cos \beta \cos \delta -\sin \beta \sin \delta$

(4.4)  $\cos \beta \cos \delta =\cos (\beta +\delta )+\sin \beta \sin \delta$

eingesetzt in (3.5)

(5.1)  ${(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2=4[a^2{b}^2-a^2{b}^2{\sin }^2\beta -2abcd\cos (\beta +\delta )-2abcd\sin \beta \sin \delta +c^2{d}^2-c^2{d}^2{\sin }^2\delta ]$

(5.2)  ${(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2=4[a^2{b}^2+c^2{d}^2-2abcd\cos (\beta +\delta )-(a^2{b}^2{\sin }^2\beta +2abcd\sin \beta \sin \delta +c^2{d}^2{\sin }^2\delta )]$

weil nach (2.2):

$a^2{b}^2{\sin }^2\beta +2abcd\sin \beta \sin \delta +c^2{d}^2{\sin }^2=4A^2$

eingesetzt

(5.3)  ${(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2=4[a^2{b}^2+c^2{d}^2-2abcd\cos (\beta +\delta )-4A^2]$

nach $A^2$ aufgelöst

(5.4)  $A^2=-\frac{{(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2}{16}+\frac{[a^2{b}^2+c^2{d}^2-2abcd\cos (\beta +\delta )]}{4}$

(5.5)  $A^2=-\frac{(a^4+a^2{b}^2-a^2{c}^2-a^2{d}^2+a^2{b}^2+b^4-b^2{c}^2-b^2{d}^2-a^2{c}^2-b^2{c}^2+c^4+c^2{d}^2-a^2{d}^2-b^2{d}^2+c^2{d}^2+d^4)}{16}+$

$+\frac{[4a^2{b}^2+4c^2{d}^2-8abcd\cos (\beta +\delta )]}{16}$

(5.6)  $A^2=\frac{{-a}^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+{2a}^2{c}^2+{2a}^2{d}^2+{2b}^2{c}^2+{2b}^2{d}^2+{2c}^2{d}^2}{16}-\frac{abcd\cos (\beta +\delta )}{2}$

Zwischenrechnung

(6)  $s=\frac{a+b+c+d}{2}$

(6.1)  $2(s-a)=-a+b+c+d$

(6.2)  $2(s-b)=a-b+c+d$

(6.3)  $2(s-c)=a+b-c+d$

(6.4)  $2(s-d)=a+b+c-d$

(6.1) bis (6.4) ausmultipliziert

(7)  $16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

rechte Seite schrittweise ausmultipliziert

(7.1.1)  $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)=-a^2+ab-ac-ad+ab-b^2+bc+bd+ac-bc+c^2+cd+ad-bd+cd+d^2$

(7.1.2)  $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)=-a^2-b^2+c^2+d^2+2ab+2cd$

(7.2.1)  $(a+b-c+d)(a+b+c-d)=a^2+ab+ac-ad+ab+b^2+bc-bd-ac-bc-c^2+cd+ad+bd+cd-d^2$

(7.2.2)  $(a+b-c+d)(a+b+c-d)=a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd$

(7.3.1)  $(-a^2-b^2+c^2+d^2+2ab+2cd)(a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd)=$

$-a^4-a^2{b}^2+a^2{c}^2+a^2{d}^2-2a^{3}b-2a^{2}cd-a^2{b}^2-b^4+b^2{c}^2+b^2{d}^2-2a{b}^3-2b^{2}cd+a^2{c}^2+b^2{c}^2-c^4-c^2{d}^2$

$+2ab{c}^2+2c^{3}d+a^2{d}^2+b^2{d}^2-c^2{d}^2-d^4+2ab{d}^2+2c{d}^3+2a^{3}b+2a{b}^3-2ab{c}^2-2ab{d}^2+4a^2{b}^2+4abcd$

$+2a^{2}cd+2b^{2}cd-2c^{3}d-2c{d}^3+4abcd+4c^2{d}^2$

(7.3.2)  $(-a^2-b^2+c^2+d^2+2ab+2cd)(a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd)=$

$-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+{2b}^2{d}^2+2c^2{d}^2+8abcd$

(7.4)  $(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)=$

$-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+{2b}^2{d}^2+2c^2{d}^2+8abcd$

(7.5)  $16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+{2b}^2{d}^2+2c^2{d}^2+8abcd$

(7.6)  $16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-8abcd=-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+{2b}^2{d}^2+2c^2{d}^2$

den rechten Teil

$-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+2b^2{d}^2+2c^2{d}^2$

in (5.6) eingesetzt

(8.1)  $A^2=\frac{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-8abcd}{16}-\frac{abcd\cos (\beta +\delta )}{2}$

(8.2)  $A^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{abcd}{2}-\frac{abcd\cos (\beta +\delta )}{2}$

(8.3)  $A^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{abcd}{2}[1+\cos (\beta +\delta )]$

aus Halbwinkelformel (17.1)

$\frac{1+cos(\beta +\delta )}{2}={cos}^2\frac{\beta +\delta }{2}$

(8.4)  $A^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\beta +\delta }{2}$

oder

(8.5)  $A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\beta +\delta }{2}}$

Wikipedia-Verweise

Formel von Bretschneider