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Kosinussatz

In jedem Dreieck gilt:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

und entsprechend

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Beweis: Es reicht, die erste Gleichheit zu beweisen. Die andern Beweise laufen entsprechend. Alle Bezeichnungen beziehen sich auf nebenstehende Abbildung.

Es sei $h_c$ die Höhe auf die Seite $c$. Nach dem Satz des Pythagoras angewendet auf das rechtwinklige Dreieck ADC gilt

(1)   $h_c^2=b^2-d^2$

Nach der 2. binomischen Formel gilt

(2)   ${\left(c-d\right)}^2=c^2-2cd+d^2$

Nach Pythagoras angewendet auf das Dreieck CDB gilt:

(3)   $a^2=h_c^2+(c-d{)}^2$

Wenn man (1) und (2) in (3) einsetzt, erhält man:

(4)   $a^2=b^2-d^2+c^2-2cd+d^2$,

vereinfacht:

(5)   $a^2=b^2+c^2-2cd$

Im rechtwinkligen Dreieck ADC gilt:

(6)   $d=b\cdot \cos \alpha$

(6) in (5) eingesetzt ergibt das Resultat:

(7)   $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$.

Damit ist die erste Gleichung bewiesen. Die andern beiden beweist man analog.

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