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Additionstheoreme (Kosinus)

Beweis für:

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}AOB$ ist

(1)  $\cos (\alpha +\beta )=\frac{\overline{OA}}{1}=\overline{OA}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}BOD$ ist

(2)  $\cos \beta =\frac{\overline{OD}}{1}=\overline{OD}$

und

(3)  $\sin \beta =\frac{\overline{BD}}{1}=\overline{BD}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}OCD$ ist

(4.1) $\cos \alpha =\frac{\overline{OC}}{\overline{OD}}$

(2) eingesetzt

(4.2) $\cos \alpha =\frac{\overline{OC}}{\cos \beta }$

(4.3) $\cos \alpha \cdot \cos \beta =\overline{OC}$

Zwischenbeweis:

Die Dreiecke $\mathrm{△}BSD$ und $\mathrm{△}OSA$ sind beide rechtwinklig
und deshalb sind $\mathrm{\angle }BSD=\mathrm{\angle }OSA$ Scheitelwinkel und daher ist auch

(5.0) $\mathrm{\angle }SOA=\mathrm{\angle }SBD=\alpha$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}EDB$ gilt:

(5.1) $\sin \alpha =\frac{\overline{DE}}{\overline{BD}}$

(3) eingesetzt

(5.2) $\sin \alpha =\frac{\overline{DE}}{\sin \beta }$

(5.3) $\sin \alpha \cdot \sin \beta =\overline{DE}$

(6.1) $\overline{OA}=\overline{OC}-\overline{DE}$

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2) $\overline{OA}=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

in (1) eingesetzt

(7) $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Wenn Winkel $\beta$ negativ:

(8)  $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos (-\beta )-\sin \alpha \cdot \sin (-\beta )$

(9a) $\cos (-\beta )=+\cos \beta$

und

(9b) $\sin (-\beta )=-\sin \beta$

eingesetzt in (8)

(10) $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta$

(7) und (10) zusammengefasst

(11)  $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$

Daraus ergibt sich auch für den doppelten Winkel

bei $\alpha =\beta$

(12)  $\cos 2\alpha =\cos \alpha \cdot \cos \alpha -\sin \alpha \cdot \sin \alpha$

(13)  $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

oder weil

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

(14.1)  $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )$

(14.2)  $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

oder

(15.1)  $\cos 2\alpha =1-{\sin }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

(15.2)  $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

Halbwinkelformel

Aus Formel (14.2):  $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

wenn:   $\alpha =\frac{\phi }{2}$

(16)  $\cos \phi =2{\cos }^2\frac{\phi }{2}-1$

aufgelöst nach:   ${\cos }^2\frac{\phi }{2}$

(17.1)  ${\cos }^2\frac{\phi }{2}=\frac{1+\cos \phi }{2}$

oder

(17.2)  $\cos \frac{\phi }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \phi }{2}}$

Additionstheoreme (Kosinus)

Beweis für:

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)$

Für den Beweis werden die Beziehungen
$\begin{array}{cc}\sin \left(\alpha \right)& =\frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\\ \cos \left(\alpha \right)& =\frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\end{array}$
verwendet.

Es gilt:
$\begin{array}{cc}\cos (\alpha \pm \beta )& =\cos \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)\\ & =\frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\cdot \frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\mp \frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\cdot \frac{1}{2\cdot 𝗂}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\\ & =\frac{1}{4}\cdot (({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }+{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta })\pm ({𝖾}^{𝗂\cdot \alpha }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \alpha })\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot \beta }-{𝖾}^{-𝗂\cdot \beta }))\\ & =\frac{1}{4}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}+{𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}+{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}+{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )}\pm {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}\mp {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}\mp {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}\pm {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )})\\ & =\frac{1}{4}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}\pm {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}+{𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}\mp {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}+{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}\mp {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}+{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )}\pm {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )})\\ & =\frac{1}{4}\cdot ((1\pm 1)\cdot {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha +\beta )}+(1\mp 1)\cdot {𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha -\beta )}+(1\mp 1)\cdot {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha -\beta )}+(1\pm 1)\cdot {𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha +\beta )})\\ & =\frac{1}{2}\cdot ({𝖾}^{𝗂\cdot (\alpha \pm \beta )}+{𝖾}^{-𝗂\cdot (\alpha \pm \beta )})\end{array}$
Die Umformung zur vorletzten Zeile ist möglich, da entweder $(1\pm 1)\cdot {𝖾}^{\pm 𝗂\cdot (\alpha +\beta )}$ oder $(1\mp 1)\cdot {𝖾}^{\pm 𝗂\cdot (\alpha -\beta )}$ auftritt.

Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme