Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Dreieck: Satz des Heron

Satz des Heron

Die Fläche eines beliebigen Dreiecks ist mit den Seitenlängen $a,b,c$ ist

$A=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

worin $s$ der halbe Umfang des Dreiecks ist

$s=\frac{a+b+c}{2}$

Beweis über die Dreiecksfläche:

Die Dreiecksfläche ist

(1)   $A=\frac{c\cdot h_c}{2}$

nach dem Satz des Pythagoras

(2)  $h_c^2=b^2-d^2$

und

(3)  $h_c^2=a^2-{\left(c-d\right)}^2$

(2) und (3) gleichgesetzt

(4.1)   $b^2-d^2=a^2-{\left(c-d\right)}^2$

(4.2)   $b^2-d^2=a^2-c^2+2cd-d^2$

aufgelöst nach $d$

(5)   $d=\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}$

Formel (2) nach der 3. binomischen Formel

(6)   $h_c^2=\left(b-d\right)\left(b+d\right)$

Formel (5) eingesetzt

(7.1)   $h_c^2=\left(b-\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)\left(b+\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)$

(7.2)   $h_c^2=\left(\frac{2bc-b^2+a^2-c^2}{2c}\right)\left(\frac{2bc+b^2-a^2+c^2}{2c}\right)$

umgestellt

(7.3)   $h_c^2=\frac{\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right]\left[-a^2+\left(b^2+2bc+c^2\right)\right]}{4c^2}$

2. und 1. binomische Formel angewendet

(7.4)   $h_c^2=\frac{\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]\left[-a^2+{\left(b+c\right)}^2\right]}{4c^2}$

3. binomische Formel angewendet

(7.5)   $h_c^2=\frac{\left[\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\right]\left[\left(-a+b+c\right)\left(a+b+c\right)\right]}{4c^2}$

(7.6)   $h_c^2=\frac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}{4c^2}$

Formel (1) quadriert und Formel (7.6) eingesetzt

(8.1)   $A^2=\frac{c^2\cdot \frac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}{4c^2}}{4}$

(8.2)   $A^2=\frac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}{16}$

etwas umgestellt

(8.3)   $A^2=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\frac{\left(-a+b+c\right)}{2}\frac{\left(a-b+c\right)}{2}\frac{\left(a+b-c\right)}{2}$

mit dem halben Umfang

(9)   $s=\frac{a+b+c}{2}$

und

(9.1)   $s-a=\frac{a+b+c-2a}{2}=\frac{-a+b+c}{2}$

und

(9.2)   $s-b=\frac{a+b+c-2b}{2}=\frac{a-b+c}{2}$

und

(9.3)   $s-c=\frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{a+b-c}{2}$

Formel (9), (9.1), (9.2), (9.3) in Formel (8.3) eingesetzt

(10)   $A^2=s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)$

oder

(11)   $A=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

Beweis mit dem Satz des Pythagoras

Abbildung und Bezeichnungen siehe Skizze oben.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

(1.1)   $b^2=h_c^2+d^2$

und

(1.2)   $a^2=h_c^2+(c-d{)}^2$

Subtraktion ergibt

(2)   $a^2-b^2=c^2-2cd$

aufgelöst nach $d$

(3)   $d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}$

nach Pythagoras ist

(4)   $h_c^2=b^2-d^2$

nach der 3. binomischen Formel

(5)   $h_c^2=(b-d)(b+d)$

(3) in (5) eingesetzt

(6)   $h_c^2=(b-\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c})(b+\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c})$

umgewandelt

(7)   $4c^2{h}_c^2=(2bc+a^2-b^2-c^2)(2bc-a^2+b^2+c^2)$

2. und 1. binomische Formeln angewandt

(8)   $4c^2{h}_c^2=[a^2-(b-c{)}^2][-a^2+(b+c{)}^2]$

3. binomische Formel angewandt

(9)  $4c^2{h}_c^2=(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c)$

$s$ ist der halbe Umfang des Dreiecks

(10)   $s=\frac{a+b+c}{2}$

(11.1)  $2s=a+b+c$

(11.2)   $2s-2a=-a+b+c$

(11.3)   $2s-2b=a-b+c$

(11.4)   $2s-2c=a+b-c$

(11) in (9) eingesetzt und neu geordnet

(12.1)   $4c^2{h}_c^2=2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)$

(12.2)   $4c^2{h}_c^2=16s(s-a)(s-b)(s-c)$

duch 16 geteilt

(13)   $\frac{c^2{h}_c^2}{4}=s(s-a)(s-b)(s-c)$

die Dreiecksfläche ist

(14)   $A=\frac{c\cdot h_c}{2}$

quadriert

(15)   $A^2=\frac{c^2{h}_c^2}{4}=s(s-a)(s-b)(s-c)$

daraus ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks

(16)   $A=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

Beweis mit dem Kosinussatz

Abbildung und Bezeichnungen siehe Skizze oben.

(1)   $A=\frac{c\cdot h_c}{2}$

(2)   $h_c=b\cdot \sin \alpha$

(3)   $A=\frac{bc\cdot \sin \alpha }{2}$

nach dem Kosinussatz gilt

(4)   $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

aufgelöst nach $\cos \alpha$

(5)   $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt

(6)   $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$

(5) in (6) eingesetzt und erweitert

(7.1)   $\sin \alpha =\sqrt{{\left(\frac{2bc}{2bc}\right)}^2-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}$

(7.2)   $\sin \alpha =\frac{1}{2bc}\sqrt{(2bc{)}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}$

nach dem 3. binomischen Lehrsatz

(8)   $\sin \alpha =\frac{1}{2bc}\sqrt{(2bc-b^2-c^2+a^2)(2bc+b^2+c^2-a^2)}$

nach dem 2. und 1. binomischen Lehrsatz

(9)   $\sin \alpha =\frac{1}{2bc}\sqrt{[a^2-(b-c{)}^2][(b+c{)}^2-a^2]}$

nach dem 3. binomischen Lehrsatz

(10)   $\sin \alpha =\frac{1}{2bc}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}$

$s$ ist der halbe Umfang des Dreiecks

(11)   $s=\frac{a+b+c}{2}$

(12.1)   $2s=a+b+c$

(12.2)   $2s-2a=-a+b+c$

(12.3)   $2s-2b=a-b+c$

(12.4)   $2s-2c=a+b-c$

(12) in (10) eingesetzt und neu geordnet

(13)   $\sin \alpha =\frac{1}{2bc}\sqrt{2s\cdot 2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)}$

(14)   $\sin \alpha =\frac{2}{bc}\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

(14) in (3) eingesetzt

(15)   $A=\frac{bc\cdot \sin \alpha }{2}=\frac{2bc}{2bc}\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

(16)   $A=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$