Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

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Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl.

Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Sei $F$ ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in $F$ als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von $F$ abschätzen durch die Stufe $s(F)$ von $F$:

$s(F)\le p(F)\le s(F)+1$

Beweis: Falls $\text{char}(F)=2$, (vgl. Körper- und Ringtheorie) dann ist $p(F)=s(F)=1$, denn es gilt

$\sum _{i=1}^n{a}_i^2={\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2$

Sei also $\text{char}(F)\ne 2$, sei $s=s(F)$ und $-1=e_1^2+\dots +e_s^2$ für gewisse $e_i\in F$. Sei $a\ne 0$ eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt

$\begin{array}{cc}a& ={\left(\frac{a+1}{2}\right)}^2+(-1){\left(\frac{a-1}{2}\right)}^2\\ & ={\left(\frac{a+1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{e_1(a-1)}{2}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{e_s(a-1)}{2}\right)}^2\\ & \in {\sum }^{s+1}{F}^2\end{array}$

Falls $p(F)<s$ wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge $p(F)$, was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.

Demnach ist $s(F)\le p(F)\le s(F)+1$.

$◻$

Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

$p({𝔽}_q)=2$

für alle $q=p^n$ wo $p>2$ prim und $n>0$ ist.

Beweis: Wir zeigen, dass für $F={𝔽}_q$ gilt: $F^{\times }/(F^{\times }{)}^2=\{(F^{\times }{)}^2,\epsilon (F^{\times }{)}^2\}$, wobei mit $F^{\times }$ die mulitplikative Untergruppe $F\setminus \{0\}$ von $F$ gemeint ist und $\epsilon$ selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.

Betrachte den Gruppenhomomorphismus in $F^{\times }$, der $x$ auf $x^2$ abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist $\{\pm 1\}$. Es gilt also $|(F^{\times }{)}^2|=\frac{q-1}{2}$ und $|F^{\times }\setminus (F^{\times }{)}^2|=\frac{q-1}{2}$. Damit ist $F^{\times }=(F^{\times }{)}^2\cup \epsilon (F^{\times }{)}^2$ für $\epsilon \notin (F^{\times }{)}^2$ und folglich $p(F)\ge 2$.

Betrachte nun die Mengen $\{x^2|x\in F\}$ und $\{\epsilon -y^2|y\in F\}$. Beide Mengen haben Kardinalität $\frac{q+1}{2}$, also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren $x,y\in F$, so dass $x^2+y^2=\epsilon$. Da $\epsilon \in F^{\times }\setminus (F^{\times }{)}^2$ beliebig war, folgt $p(F)\le 2$.

$◻$

Wikipedia-Verweise

• Pythagoraszahl