Mathe für Nicht-Freaks: Arkustangens und Arkuskotangens

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Beim Arkustangens und Arkuskotangens handelt es sich um die Umkehrfunktionen von der trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens (wenn man ihren Definitionsbereich geeignet einschränkt).

Definition und Herleitung

Wir wissen bereits, dass die Tangens- und Kotangensfunktion die Definitionsmenge $D_{\tan }=ℝ\setminus \{k\pi +\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\}$ bzw. $D_{\cot }=ℝ\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ und die Ziel- und Wertemenge $Z=ℝ$ haben. Die beiden Funktionen sind surjektiv, jedoch nicht injektiv, da unterschiedliche Argumente existieren, die auf die gleichen Funktionswerte abbilden. Insbesondere sind sie auch nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist nur dann bijjektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist.

In den folgenden Grafiken der Tangens- und Kotangensfunktion sieht man, dass jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen wird und die Funktionen somit nicht injektiv sein können:

Graph der Tangensfunktion

Graph der Kotangensfunktion

Wir müssen uns also überlegen, wie wir $\tan$ und $\cot$ injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abbilden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir $\tan$ und $\cot$ auf eines ihrer Monotonieintervall ohne dazwischenliegenden Definitionslücken einschränken. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel wären beim Tangens die Intervalle $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ oder $]\frac{5}{2}\pi ,\frac{7}{2}\pi [$ und beim Kotangens die Intervalle $]0,\pi [$ oder $]2\pi ,3\pi [$ geeignet.

Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches dieser Intervalle die Definitionsmengen eingeschränkt werden. Allerdings ist es in der Literatur üblich, für den Tangens das Intervall $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ und für den Kotangens $]0,\pi [$ zu nehmen. Die bijektiven, eingeschränkten Tangens- und Kotangens lauten daher:

und

Graph des Arkustangens

Graph des Arkuskotangens

Beide Funktionen sind nun auch injektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkustangens und der Arkuskotangens:

Eigenschaften

Übersicht über die Eigenschaften

	Arkustangens	Arkuskotangens
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$x\in ℝ$	$x\in ℝ$
Bildmenge	$-\frac{\pi }{2}<f(x)<\frac{\pi }{2}$	$0<f(x)<\pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arctan (-x)=-\arctan x$	Punktsymmetrie zu $(x=0,y=\frac{\pi }{2})$ $\mathrm{arccot}x=\pi -\mathrm{arccot}(-x)$
Asymptoten	$f(x)\to \pm \frac{\pi }{2}$ für $x\to \pm \mathrm{\infty }$	$f(x)\to \pi$ für $x\to -\mathrm{\infty }$ $f(x)\to 0$ für $x\to +\mathrm{\infty }$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$(0,0)$	$(0,\frac{\pi }{2})$

Ableitung

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion. {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Ableitungen|Ableitung_Arkustangens_und_-kotangens}}

Integral

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration. {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale|Integral_Arkustangens_und_-kotangens}}

Monotonie

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten|quellen=Seite „Arkustangens und Arkuskotangens“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 23. Februar 2017, 14:49 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arkustangens_und_Arkuskotangens&oldid=162937356 (Abgerufen: 5. April 2017, 08:24 UTC) }}