Mathe für Nicht-Freaks: Substitutionsregel für Integrale

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Die Substitutionsregel ist eine Methode zur Bestimmung von bestimmten und unbestimmten Integralen. Diese wird aus der Kettenregel der Ableitung mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung gewonnen. Durch diese Regel wird das ursprüngliche Integral in ein anderes Integrationsproblem überführt, welches idealerweise leichter zu lösen ist.

Herleitung

Leider gibt es im Allgemeinen keine „Formeln“ zur Bestimmung von Stammfunktionen, wie es zum Beispiel bei Ableitungen der Fall ist. Jedoch können aus den Ableitungsregeln über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Umformungsregeln für Integrale gewonnen werden. Die Substitutionsregel ist ein solches Beispiel: Wir wissen, dass die Kettenregel $h^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ für eine Funktion $h(x)=u(v(x))$ mit differenzierbaren Funktionen $u$ und $v$ gilt. Daher muss umgekehrt eine Funktion $f$ mit der Zuordnungsvorschrift $f(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ die Funktion $F(x)=u(v(x))$ als Stammfunktion besitzen. Dies kann für die Integralrechnung ausgenutzt werden.

Allgemeine Formulierung

Damit die Substitutionsregel aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hergeleitet werden kann, nehmen wir alle Voraussetzungen des Hauptsatzes an:

Anwendung

Das Ziel bei der Substitution ist es, einen Integranden der Form $f(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ durch Anwendung der Substitutionsmethode in den „einfacheren“ Integranden $u^{\prime }(t)$ umzuwandeln.

Berechnung von bestimmten Integralen

Sei ein Integrationsproblem ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ gegeben, bei dem $f$ von der Gestalt $u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ ist. Über folgende Schritte kann die Substitution durchgeführt werden:

1. Suche den Ausdruck $v(x)$ im Integranden. Definiere diesen Ausdruck als deine neue Variable $t$.
2. Bilde die erste Ableitung $v^{\prime }(x)$ und ersetze $\mathrm{d}x$ durch $\frac{1}{v^{\prime }(x)}\mathrm{d}t$.
3. Ersetze die Grenzen $a$ und $b$ durch $v(a)$ und $v(b)$.

Der zweite Schritt kann auch mit Hilfe der Leibnizschen Schreibweise gewonnen werden:

Berechnung von unbestimmten Integralen

Auch unbestimmte Integrale $\int f(x)\mathrm{d}x$ mit $f(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ können über die Substitutionsregel bestimmt werden. Das Vorgehen ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Berechnung von bestimmten Integralen. Jedoch besitzen unbestimmte Integrale keine Integrationsgrenzen und so fällt die Bestimmung der neuen Integrationsgrenzen weg. Auch muss am Ende die neue Variable zurücksubstituiert werden. Im Einzelnen lauten die Schritte:

1. Suche den Ausdruck $v(x)$ im Integranden. Definiere diesen Ausdruck als deine neue Variable $t$.
2. Bilde die erste Ableitung $v^{\prime }(x)$ und ersetze $\mathrm{d}x$ durch $\frac{1}{v^{\prime }(x)}\mathrm{d}t$.
3. Nach Anwendung der Substitutionsregel muss in der bestimmten Stammfunktion $u(t)$ die Variable $t$ wieder durch $v(x)$ ersetzt werden.

„Umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel mit Beispielen

Wir haben oben die Substitutionsregel verwendet, um ein Integral der Form $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ in ein neues Integral der Form $\underset{v(a)}{\overset{v(b)}{\int }}{u}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ zu überführen, das leichter zu lösen ist. Formal haben wir dazu $t:=v(x)$ definiert und $v(x)$ durch $t$ ersetzt. Es gibt aber auch Integrale, die sich auf umgekehrtem Wege bestimmen lassen: Man will also ein Integral der Form $\underset{c}{\overset{d}{\int }}{u}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ in ein Integral der Form $\underset{\tilde{c}}{\overset{\tilde{d}}{\int }}{u}^{\prime }(v(t))v^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ umwandeln, wozu man $x$ durch $v(t)$ substituiert. Um dabei die Integrationsgrenzen richtig zu „verschieben“, muss man die Urbilder $v^{-1}(c)$ und $v^{-1}(d)$ bestimmen. Damit diese eindeutig sind, muss man die Umkehrbarkeit von $v$ voraussetzen. Meist lassen sich die Urbilder durch die Umkehrfunktion $v^{-1}$ bestimmen. Die Umkehrbarkeit von $v$ erzwingen wir durch zwei zusätzliche Bedingungen: $v^{\prime }\ne 0$ und $v$ ist surjektiv. Dann gilt: $x=v(t)⟺t=v^{-1}(x)$. Die „umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel lautet also

Der Beweis funktioniert ähnlich wie bei der Standardversion oben. Wir müssen allerdings noch die Umkehrbarkeit von $v$ begründen.

Wir wollen auch diese Variante an einem Beispiel veranschaulichen.

Rezept zur Anwendung der „umgekehrten“ Substitutionsregel

Auch für diese Variante können wir wieder eine Rezept formulieren:

Sei ein Integrationsproblem der Form $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ gegeben.

1. Schritt: Suche eine passende Substitution $x=v(t)$, wobei $v$ bijektiv sein muss.

2. Schritt: Bilde die erste Ableitung $v^{\prime }(t)$ und ersetze $\mathrm{d}x$ durch $v^{\prime }(t)\mathrm{d}t$.

3. Schritt: Ersetze die Grenzen $a$ und $b$ durch $v^{-1}(a)$ und $v^{-1}(b)$.

Eine anschauliche Herleitungsmöglichkeit

• Zu Anfang sollte man irgendwo schon mal gehört haben, was mit einer Funktion f(x) passiert, wenn man in diese eine andere Funktion f(g(x)) einsetzt. Natürlich sollen f(x) und g(x) differenzierbar sein.
• Antwort: f(x) bleibt quasi gleich und wird nur versetzt, gezerrt und gestaucht (und verdreht bei nicht monotonem g).
• Um sich davon zu überzeugen, betrachte man bspw.

• Dort, wo g(x) stärker als die Identität x steigt, wird f(x) gestaucht. Dort, wo g(x) langsamer als die Identität steigt, wird f(x) gestreckt.
• Um sich davon zu überzeugen, betrachte man bspw.

Man kann das vielleicht auch wie folgt nachvollziehen: Angenommen, wir haben 2 reelle Funktionen f und g (differenzierbar und mit Intervallen als Definitionsmengen, g monoton) und wir wollen wissen, was mit f passiert, wenn man in diese g einsetzt.

Zuerst bemerke man, dass das ganze nur einen Sinn hat, wenn die Bildmenge von g eine Teilmenge der Definitionsmenge von f ist, denn sonst wäre f(g(x)) nicht definiert.

D.h. g(x) durchläuft das Definitionsintervall von f. Dort, wo g(x) stark steigt, durchläuft es das Intervall schnell, dort wo es schwach steigt, durchläuft es das Intervall langsam.

Dort, wo g(x) stark steigt, werden viele Zahlen aus dem Definitionsbereich von f pro Argumentenabschnitt von g durchlaufen. Wo g(x) schwach steigt, sind es pro Argumentenabschnitt wenige Zahlen.

D.h. bei starkem Anstieg von g wird ein einst großes Argumentenintervall von f innerhalb eines viel kleineren Intervalls "verarbeitet", f wird gestaucht. Ein einst kleines Teilintervall wird jetzt während eines viel größeren Intervalls verarbeitet, f wird also gestreckt.

Hierzu betrachte man

(evtl. animieren)

D.h. dort, wo g stark steigt, wird f gestaucht, dort, wo g schwach steigt, wird f gestreckt.

• Angenommen, wir wollen nun irgendein ein Integral berechen:

ein integral

• Nun betrachte man, was passiert, wenn man g(x) in f(x) einsetzt.

Die Abb zeigt bsp.haft wie eine funktion f(x) durch einsetzten von g(x) verformt wird.

(evtl. Animation einfügen)

• Das gleiche passiert mit den Treppenfunktionen

Vorlage:Einrücken mithilfe welcher versucht wird das Integral zu approximieren bzw. zu berechen

(evtl. animieren)

• Offensichtlich verändert sich dabei der Flächeninhalt einer solchen Treppenfunktion. Um den Flächeninhalt aber trotzdem gleich zu halten, könnte man nun versuchen, die Rechtecke in ihrer Höhe zu modifizieren. Mit etwas Überlegung ist dies auch gar nicht so schwer:

Das Intervall, welches vorher die Länge Vorlage:Einrücken hatte, hat nun die Länge Vorlage:Einrücken (Monotonie vorausgesetzt). D.h. das Intervall, welches nun die Länge Vorlage:Einrücken hat, hatte vorher die Länge Vorlage:Einrücken. Wenn man annimmt, das neue Intervall b-a wäre kleiner als das alte g(b)-g(a), so würde das alte Intervall um den Faktor Vorlage:Einrücken verkleinert werden. Damit das entsprechende Rechteck trotzdem noch den gleichen Flächeninhalt hat, müsste man es in seiner Höhe um das reziproke dieses Faktors vergrößern. Vergrößern heißt multiplizieren, als Formel Vorlage:Einrücken.

• Wenn die Intervalle bei Vorlage:Einrücken immer kleiner werden, so nähert sich der Vergößerungsfakor immer mehr g'(y) an, was einen schließlich auf die Vermutung Vorlage:Einrücken bringen könnte.

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