Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung der Umkehrfunktion

Im folgenden Artikel werden wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion in einem Punkt differenzierbar ist. Außerdem werden wir eine Formel herleiten, mit der wir die Ableitung der Umkehrfunktion explizit bestimmen können. Das praktische an dieser ist, dass wir damit die Ableitung an bestimmten Punkten bestimmen können, selbst wenn wir die Umkehrfunktion nicht explizit kennen.

Motivation

Betrachten wir zunächst als Beispiel eine lineare Funktion. Für diese ist es sehr einfach, die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen. Nicht-konstante lineare Funktionen sind nämlich auf ganz $ℝ$ bijektiv und damit umkehrbar. In diesem Fall können wir die Umkehrfunktion explizit berechnen und danach ableiten. Konkret wählen wir $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2x-1$. Die Umkehrfunktion lautet

$f^{-1}$ ist auf ganz $ℝ$ differenzierbar und $(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{2}$ für alle $y\in ℝ$.

Betrachten wir als nächstes die Funktion $f(x)=x^2$. Hier müssen wir zunächst aufpassen, da sie nicht auf ganz $ℝ$ injektiv, und damit nicht umkehrbar ist. Schränken wir den Definitions- und Wertebereich jedoch auf ${ℝ}_0^{+}$ ein, so ist $f:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+},f(x)=x^2$ bijektiv. Die Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion

Bei der Differenzierbarkeit müssen wir eine weitere Sache beachten: $f^{-1}$ ist in $y=0$ nicht differenzierbar. Dies können wir mit Hilfe des Differentialquotienten, oder auch durch die folgende Überlegung zeigen:

Da die Wurzelfunktion $f^{-1}$ die Umkehrfunktion der Quadratfunktion $f$ ist, gilt $f^{-1}\circ f=\text{id}$. In null gilt damit insbesondere

Wäre nun $f^{-1}$ in null differenzierbar, würde mit der Kettenregel

gelten. Also kann $f^{-1}$ in null nicht differenzierbar sein. Auf ${ℝ}^{+}$ ist $f^{-1}$ hingegen differenzierbar, und es gilt

Dieses Beispiel zeigt also, dass es vorkommen kann, dass $f^{-1}$ nicht auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, obwohl $f$ überall differenzierbar war. Konkret liegt das daran, dass $f^{\prime }(f^{-1}(0))=f^{\prime }(0)=0$ ist, wie wir später sehen werden.

In den beiden Beispielen war es also relativ einfach die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen. Wie sieht es aber mit komplizierteren Funktionen, zum Beispiel $\ln$ als Umkehrfunktion von $\exp$ aus? Hier können wir nicht so einfach die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen. Oder was passiert, wenn sich eine bijektive Funktion gar nicht explizit umkehren lässt? Gibt es dann dennoch eine Möglichkeit die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen? In diesen Fällen wäre es natürlich gut, wenn wir eine allgemeine Formel hätten, mit der wir die Ableitung von $f^{-1}$ aus der Ableitung von $f$ bestimmen könnten. Wenn wir uns die Ableitung aus dem zweiten Beispiel nochmal ansehen, dann fällt Folgendes auf:

Da $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$ für alle $y\in {ℝ}^{+}$ und $f^{\prime }(x)=2x$ für alle $x\in {ℝ}^{+}$ ist. Sehen wir uns das erste Beispiel nochmal an, so gilt dort ebenfalls

Die Frage ist nun, ob dies Zufall ist, oder ob diese Formel unter gewissen Voraussetzungen auch allgemein gilt? Setzen wir voraus, dass $f:D\to W$ in $\tilde{x}\in D$ und $f^{-1}:W\to D$ in $\tilde{y}=f(\tilde{x})\in W$ differenzierbar ist, dann können wir uns die Formel allgemein herleiten. Dazu verwenden wir denselben Ansatz, den wir oben für die Nicht-Differenzierbarkeit der Quadratwurzelfunktion in null verwendet haben: Für alle $y\in W$ gilt

Leiten wir nun auf beiden Seiten an der Stelle $\tilde{y}$ ab, so gilt nach der Kettenregel

Hierbei haben wir verwendet, dass $f$ in $f^{-1}(\tilde{y})=\tilde{x}$ und $f^{-1}$ in $\tilde{y}$ differenzierbar sind. Nun dividieren wir noch auf beiden Seiten durch $f^{\prime }(f^{-1}(\tilde{y}))$ (geht natürlich nur, wenn der Ausdruck ungleich null ist), und erhalten

beziehungsweise

Die Formel gilt also unter diesen Voraussetzungen auch allgemein. Die Frage ist nun noch, unter welchen Bedingungen an $f$ die Ableitung von $f^{-1}$ sicher existiert.

• Zum einen muss die $f^{-1}$ existieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn $f$ bijektiv ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn $f$ surjektiv und streng monoton ist.
• Wie wir oben gesehen haben muss $f$ im Punkt $\tilde{x}=f^{-1}(\tilde{y})$ differenzierbar sein mit $f^{\prime }(\tilde{x})\ne 0$.
• Wir werden sehen, dass wir noch eine weitere Voraussetzung benötigen, nämlich dass $f^{-1}$ in $\tilde{y}$ stetig ist. Ist der Definitionsbereich $D$ von $f$ ein Intervall, so ist dies nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion immer erfüllt.

Unter genau diesen Voraussetzungen werden wir einen Satz formulieren und beweisen. Anschließend untersuchen wir noch ein paar Beispiele.

Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion Vorlage:Anker

Merkregel und graphische Veranschaulichung zur Formel

Graph von $f$ mit Ableitung $f^{\prime }(x_0)=\frac{dx}{dy}=m$

Graph von $f^{-1}$ mit Ableitung $(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{m}$

Mit Hilfe der Leibnizschen Notation für die Ableitung lässt sich die Formel der Ableitung der Umkehrfunktion durch einen einfachen Bruchrechentrick veranschaulichen: Für $f^{-1}(y)=x$ und $f(x)=y$ gilt

Auch graphisch können wir die Formel klar machen: Ist die Funktion $f$ im Punkt $x_0$ differenzierbar, so entspricht $f^{\prime }(x_0)$ der Steigung der Tangente an dem Graphen in $(x_0|f(x_0))$. Es gilt daher

Den Graphen der Umkehrfunktion erthalten wir nun in zwei Schritten:

1. Zunächst müssen wir den Graphen von $f$ um $90^{\circ }$ (im bzw. gegen den Uhrzeigersinn) drehen. Der daraus entstandene Graph hat im Punkt $x_0$ die Steigung $-\frac{1}{m}$, da die Tangente in diesem Punkt senkrecht auf der ursprünglichen Tangente steht.
2. Anschließend müssen wir den Graphen noch (horizontal bzw. vertikal) spiegeln. Dabei dreht sich das Vorzeichen der Tangentensteigung um.

Insgesamt erhalten wir

Umkehrung des Satzes und Erweiterung auf gesamten Definitionsbereich

Es gilt auch die folgende Umkehrung des Satzes:

Fordern wir nun zusätzlich im ursprünglichen Satz, dass $f$ auf ganz $D$ differenzierbar ist mit $f^{\prime }\ne 0$. Dann können wir die Ableitungsfunktion von $f^{-1}$ auf ganz $W$ bestimmen: