Mathe für Nicht-Freaks: Integral einer Funktion

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Das Integral ist neben der Ableitung eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Es handelt sich um eine Art Umkehrung der Differentialrechnung. Mit ihm ist es möglich, viele interessante Fragestellungen aus der Flächenberechnung und der Physik zu beantworten.

Wir wollen in diesem Kapitel eine anschauliche Vorstellung des Integrals einführen, bevor wir diese im nächsten Kapitel mithilfe von Riemannintegralen präzisieren.

Motivation

Wir können das Integral im Grunde auf zwei verschiedenen Weisen motivieren. Die erste Möglichkeit sind Probleme aus der Flächenberechnung, zum Beispiel „Wie groß ist die Fläche einer Ellipse?“. Das heißt, wir wollen komplizierte krummlinige Flächeninhalte berechnen.

Beim zweiteren geht es um Fragestellungen wie „Wie groß ist der zurückgelegte Weg $s$ meines Autos, wenn die Geschwindigkeit $v(t)$ zu jedem Zeitpunkt bekannt ist?“. Wir wollen also, dass wir bei bekannter Ableitung Rückschlüsse auf die Gesamtänderung einer Funktion ziehen können.

Damit sind wir auch an einer Art Verallgemeinerung von Summen und Reihen interessiert. Würde sich nämlich die Geschwindigkeit deines Autos nicht von Moment zu Moment ändern, sondern nur alle 10 Zeiteinheiten, dann wäre es möglich, mithilfe einer Summe den zurückgelegten Weg auszurechnen. Ebenso wäre es möglich, von Flächen, die sich aus Rechtecken unterschiedlicher Größe zusammensetzen, den Flächeninhalt mit einer Summe zu berechnen. Während man also bei Summen über eine endliche Anzahl und bei Reihen über eine abzählbare Menge von Zahlen summiert, wollen wir nun über eine überabzählbare Menge, nämlich alle Funktionswerte einer Funktion, summieren. Dies ist aber mit den konventionellen Methoden nicht möglich. Wir benötigen daher ein neues mathematisches Instrument, das Integral.

Intuitionen des Integrals

Für das Integral gibt es mehrere Intuitionen, die alle eng zusammenhängen:

• Integral als orientierter Flächeninhalt: Das Integral ist der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse. Orientiert bedeutet, dass Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse positiv und Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse negativ gezählt werden.
• Integral als Gesamtänderung einer Funktion: Das Integral ist gleich der Gesamtänderung einer Funktion zwischen den Argumenten $a$ und $b$, die an jeder Stelle $x$ die Ableitung $f(x)$ besitzt.
• Integral als verallgemeinerte Summe: Das Integral ist eine Summe über eine überabzählbare Menge an Summanden.

Definition als Fläche unter dem Graphen

Möglicherweise kennst du bereits die Vorstellung, dass das Integral einer Funktion gleich dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen dieser Funktion ist. In der folgenden Abbildung ist eine positive und stetige Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ eingezeichnet. Das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ der Funktion $f$ entspricht dem Inhalt der grauen Fläche, die nach oben durch den Funktionsgraphen, nach unten durch die $x$-Achse sowie nach links und rechts durch die Senkrechten $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird:

Das Integral entspricht der Fläche unter dem Graphen

Ist die Funktion $f$ jedoch nicht überall positiv, ist bei dieser Vorstellung die Betonung auf dem orientierten Flächeninhalt wichtig. „Orientiert“ bedeutet, dass Flächenstücke, die unterhalb der $x$-Achse liegen (wo die Funktion negative Funktionswerte annimmt), negativ zum Flächeninhalt beitragen. In der folgenden Abbildung entspricht das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ der Differenz zwischen der blauen Fläche und der gelben Fläche:

Flächeninhalte unter der x-Achse tragen negativ zum orientiertem Flächeninhalt bei

Während also in der Geometrie der Inhalt einer Fläche immer positiv ist, kann das Integral als orientierte Fläche auch negativ werden (wenn die Funktion beispielsweise nur negative Funktionswerte besitzt).

Wir können damit das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ anschaulich wie folgt definieren:

Beispiele

Anhand der Definition können wir schon eine Reihe von Integralen berechnen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Beispiel 2

Definition über Stammfunktion

Wir betrachten nun eine andere Vorstellung des Integrals: Sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine stetige Funktion und $F:[a,b]\to ℝ$ eine Stammfunktion von $f$. Eine Stammfunktion von $f$ ist dabei eine Funktion, deren Ableitung gleich $f$ ist. Es gilt also $F^{\prime }(x)=f(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Wenn nun $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann können wir definieren:

Das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ ist damit gleich der Veränderung $F(b)-F(a)$ der Stammfunktion zwischen den Argumenten $a$ und $b$.

Beispiele

Wir zeigen zunächst, dass diese Definition bei konstanten Funktionen zu dem gleichen Ergebnis führt wie die Definition über Flächeninhalte. Wie wir später beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sehen werden, gilt dies sogar für alle stetigen Funktionen.

Probleme mit der Definition

Die Definitionen im vorangegangen Abschnitt sind anschaulich, jedoch zu unexakt. Sie eignen sich nicht dafür, Beweise zu führen und Eigenschaften des Integrals nachzuweisen. Aus diesem Grund wird im Mathematikstudium das Riemannintegral eingeführt, mit dem eine mathematisch präzise Definition für den Ausdruck $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ festgelegt wird. Mit dieser Definition ist es dann vergleichsweise einfach, die charakteristischen Eigenschaften von Integralen exakt herzuleiten.

Eine weitere bisher unbeantwortete Frage lautet, warum die beiden anschaulichen Definitionen vom Integral zum selben Integralbegriff führen. Auch hier wird das Riemannintegral Abhilfe schaffen und die beiden Definitionen durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vereinigen.

Ablage

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• Greefrath, G., Oldenburg, R., Siller, H. S., Ulm, V., & Weigand, H. G. (2016). Aspects and “Grundvorstellungen” of the Concepts of Derivative and Integral. Journal für Mathematik-Didaktik, 37(1), 99-129.

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