Mathe für Nicht-Freaks: Partielle Integration

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Bei der partiellen Integration handelt es sich um eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von bestimmten bzw. unbestimmten Integralen. Bei dieser Regel wird mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung aus der Produktregel eine Formel für Integrale hergeleitet. Dabei wird das ursprüngliche Integral in ein anderes Integrationsproblem überführt, das idealerweise leichter zu lösen ist.

Herleitung

Die Formel für die partielle Integration kann aus der Produktregel für Ableitungen hergeleitet werden. Diese lautet für zwei Funktionen $f$ und $g$:

Nehmen wir an, dass die Ableitungen $f^{\prime }$ und $g^{\prime }$ stetig sind, so dass wir die rechte Seite integrieren können. Wenn wir nun auf beiden Seiten das (unbestimmte) Integral bilden, erhalten wir:

Damit haben wir folgende Formel für das unbestimmte Integral gefunden:

Für das bestimmte Integral kann analog eine Formel gefunden werden. Diese lautet:

Wir haben so eine Formel gefunden, mit der man das Integrationsproblem in ein anderes überführen kann. In der Praxis lohnt sich die Anwendung dieser Formel, wenn das Integral $\int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ einfacher zu berechnen ist als das Ausgangsintegral $\int f^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x$. Insbesondere muss hierfür eine Stammfunktion von $f^{\prime }$ bekannt sein.

Betrachten wir zum Einstieg das unbestimmte Integral $\int e^{x}x\mathrm{d}x$. Eine Stammfunktion von $e^{x}x$ ist nicht direkt erkennbar. Wählen wir jedoch $f^{\prime }(x)=e^x$ und $g(x)=x$ in der obigen Formel, so erhalten wir mit $f(x)=e^x$ und $g^{\prime }(x)=1$:

Damit haben wir, ohne allzu großen Aufwand, eine Stammfunktion von $e^{x}x$ berechnet. Der entscheidende Punkt war, dass wir das „neue“ Integral $\int e^x\mathrm{d}x$ im Gegensatz zum ursprünglichen Integral $\int e^{x}x\mathrm{d}x$ bestimmen konnten.

Anwendungsbeispiele

Um die partielle Integration anwenden zu können, muss der Integrand die Form $f^{\prime }\cdot g$ haben oder in diese gebracht werden. Hier muss man sich überlegen, welcher der Faktoren des Produkts die Rolle von $f^{\prime }$ übernehmen soll. Auch muss die Stammfunktion von $f^{\prime }$ bekannt sein. Im Folgenden werden wir typische Anwendungsmöglichkeiten der partiellen Integration betrachten.

Typ: $\int p(x)\cdot f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ mit einer Polynomfunktion $p$

Die partielle Integration ist bei Funktionen nützlich, die sich als Produkt einer Polynomfunktion und einer integrierbaren Funktion schreiben lassen. Das hat den Hintergrund, dass der Grad der Polynomfunktion mit jeder Ableitung um einen Grad reduziert wird. Die integrierbare Funktion wird dabei als $f^{\prime }$ und die Polynomfunktion als $g$ gewählt. Dabei sollte jedoch die Stammfunktion $f$ nicht „komplizierter“ als $f^{\prime }$ sein.

Typ: $\int 1\cdot f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

Manchmal hilft es, die zu integrierende Funktion mit dem Faktor $1$ zu multiplizieren. Dadurch erhält der Integrand die gewünschte Form $f^{\prime }g$ mit $f^{\prime }(x)=1$ und $g$ gleich der ursprünglichen Funktion. Durch eine partielle Integration ist es manchmal möglich, die ursprüngliche Funktion zu integrieren:

Diese Vorgehensweise ist beim Integrieren von Umkehrfunktionen oft vorteilhaft. Weitere Beispiele sind $\int \arctan (x)\mathrm{d}x$ und $\int \arcsin (x)\mathrm{d}x$.

Indirekte Berechnung von Integralen

Bei der partiellen Integration wird häufig das ursprüngliche Integral durch partielle Integration vereinfacht, um es anschließend berechnen zu können. Bei manchen Integralen gibt es durch (mehrfache) partielle Integration die Möglichkeit, dass das ursprüngliche Integral wiederkehrt. Durch Äquivalenzumformungen kann dieses dann bestimmt werden. Mittels eines Beispiels lässt sich der Trick am besten nachvollziehen:

Herleitung von Rekursionsformeln

Mit Hilfe der partiellen Integration lassen sich Rekursionsformeln für Integrale bestimmen. Zwei beliebte Beispiele sind die Integrale

und

für $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Der Trick dabei ist es die Integranden als Produkt $\sin (x)\cdot {\sin }^{n-1}(x)$ bzw. $\cos (x)\cdot {\cos }^{n-1}(x)$ zu schreiben, und anschließend partiell zu integrieren. Wir führen dies am ersten Integral vor:

Aufgaben

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