Mathe für Nicht-Freaks: Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus und Arkuskosinus sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus (wenn man ihren Definitions- und Wertebereich geeignet einschränkt).

Definition und Herleitung

Arkussinus und Arkuskosinus Vorlage:Farblegende Vorlage:Farblegende

Wir wissen bereits, dass die Sinus- und Kosinusfunktion $\sin (x)$ die Definitionsmenge $D=ℝ$ und die Zielmenge $Z=ℝ$ haben. Insbesondere sind beide Funktionen nicht bijektiv, da sie weder injektiv noch surjektiv sind. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie jedes Element der Zielmenge trifft und eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Eine Funktion ist nur dann bijektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv, als auch injektiv ist.

In der folgenden Grafik der Sinusfunktion sieht man, dass nur Zahlen zwischen $-1$ und $1$ getroffen werden. Damit ist sie nicht surjektiv, da ihre Zielmenge mit $ℝ$ viel größer als $[-1,1]$ ist. Auch wird jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen und somit kann die Funktion nicht injektiv sein:

Graph der Sinusfunktion

Um die Sinusfunktion surjektiv zu machen, müssen wir ihre Zielmenge auf die Werte einschränken, die auch tatsächlich angenommen werden. Diese Menge ist das Bild der Sinusfunktion, also die Menge $[-1,1]$. Dadurch erhalten wir eine neue Funktion ${\sin }_2$, welche definiert ist als ${\sin }_2:ℝ\to [-1,1]:x\mapsto \sin (x)$. Beachte, dass ${\sin }_2\ne \sin$ ist, obwohl die Funktionsvorschrift identisch ist. Beide Funktionen unterscheiden sich nämlich in der Zielmenge.

Als nächstes überlegen wir uns, wie wir ${\sin }_2$ injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir ${\sin }_2$ auf ein Intervall einschränken, wo die Sinusfunktion streng monoton ist. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel ist der Sinus auf den Intervallen $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ oder $[\frac{5}{2}\pi ,\frac{7}{2}\pi ]$ streng monoton:

Auf den markierten Bereichen ist der Sinus streng monoton

Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches Monotonieintervall die Definitionsmenge des Sinus eingeschränkt wird. Allerdings ist es in der Literatur üblich, das Intervall $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ zu nehmen. Dies hat den Grund, dass der Kosinus im Intervall $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ nichtnegativ ist. Die bijektive, eingeschränkte Sinusfunktion lautet daher:

Auf analog Weise wird zunächst ${\cos }_2:ℝ\to [-1,1]:x\mapsto \cos (x)$ definiert, um eine surjektive Version der Kosinusfunktion zu erhalten. Ihr Definitionsbereich wird dann auf ein Intervall eingeschränkt, wo die Kosinusfunktion streng monoton steigt und die Sinusfunktion nichtnegtaiv ist:

Beide Funktionen sind sowohl injektiv und surjektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und der Arkuskosinus:

Eigenschaften

Übersicht über die Eigenschaften

	Arkussinus	Arkuskosinus
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$x\in [-1,1]$	$x\in [-1,1]$
Wertebereich	$-\frac{\pi }{2}\le f(x)\le +\frac{\pi }{2}$	$0\le f(x)\le \pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arcsin (-x)=-\arcsin (x)$	Punktsymmetrie zu $(x=0,y=\frac{\pi }{2}),$ $\arccos (x)=\pi -\arccos (-x)$
Asymptoten	$f(x)\to \pm \frac{\pi }{2}$ für $x\to \pm 1$	$f(x)\to \frac{\pi }{2}\mp \frac{\pi }{2}$ für $x\to \pm 1$
Nullstellen	$x=0$	$x=1$
Unstetigkeitsstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=0$	$x=0$

Ableitung

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.

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Integral

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration. {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale|Integral_Arkussinus_und_-kosinus}}

Relationen

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• Seite „Arkussinus und Arkuskosinus“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. Januar 2017, 13:07 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arkussinus_und_Arkuskosinus&oldid=161524750 (Abgerufen: 21. März 2017, 08:17 UTC)

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