Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Unendlichkeit der Primzahlenmenge

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

Sei $\mathbb{P}$ die Menge aller Primzahlen, so ist $\mathbb{P}$ nicht endlich.

Beweis

Beweisen kann man dies mittels eines Widerspruchsbeweises: Nehme man an, $p\in \mathbb{P}$ sei die größte Primzahl ($\mathbb{P}$ ist also endlich), so bildet man nun das Produkt über alle Primzahlen $\le p$ und addiere eins dazu:

$n=2\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot p+1=p_{\mathrm{\#}}+1$

Hierbei ist $p_{\mathrm{\#}}$ als Primfakultät bekannt. Nun gelten folgende Teilbarkeiten:

$p\mid (n-1)$

$p\mid (n-1\pm p)$

Da jede Primzahl $\ge 2$ ist, kann keine die Teilbarkeit $p\mid n$ erfüllen, da stets nur $p=1$ die Aussage $p\mid (n-1\pm p)$ erfüllt. Somit ist $n$ entweder prim (und damit $>p$), oder in Primfaktoren zerlegbar, die ebenso $>p$ sind. Also ist $p$ nicht die größte Primzahl der Primzahlenmenge, weshalb allgemein keine größte Primzahl existiert und somit die Menge aller Primzahlen unendlich ist.