Physik Oberstufe/ Quantenphysik/ Materiewellen

De Broglie Wellen

Sichtbar sind jeweils die Ringe der ersten Beugungsordnung.

Die Graphitfolie hat zwei relevante Gitterkonstanten.

Elektronenbeugung an einer Graphitfolie.

Debye-Scherrer-Verfahren

Streuung an Kristallebenen. Für die Wegdifferenz $\delta$ der Strahlen gilt: $\delta =2d\sin (\mathrm{\Theta })$.

Experimentelle Bestimmung der De-Broglie-Wellenlänge

Doppelspaltexperiment mit Elektronen.

Interferenz von Elektronen. Photo aus der Originalarbeit.

Die hellen Ringe stellen jeweils Maxima 1. Ordnung für zwei unterschiedliche Gitterebenen mit Ebenenabstand $d_1=213\mathrm{p}\mathrm{m}$ und $d_2=123\mathrm{p}\mathrm{m}$ dar. Bei einer Beschleunigungsspannung von $U_A=3\mathrm{k}\mathrm{V}$ und einem Abstand zwischen Kristall und Schirm von $L\approx 13\mathrm{c}\mathrm{m}$ betragen die Radien der Ringe $r_1\approx 1.5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $r_2\approx 2.75\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Für konstruktive Interferenz ist $\delta =\lambda$ und die Bragg-Bedingung damit:

$\lambda =2d_i\sin ({\mathrm{\Theta }}_i)$.

Für die Geometrie der Abbildung auf dem Schirm gilt:

$\frac{r_i}{L}=\tan (2{\mathrm{\Theta }}_i)$.

Setzt man Näherungsweise $\sin (\mathrm{\Theta })\approx \tan (\mathrm{\Theta })\approx \mathrm{\Theta }$, so erhält man:

$\lambda =\frac{d_i\cdot r_i}{L}\approx 25\mathrm{p}\mathrm{m}$

Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge

Doppelspaltexperiment mit Elektronen: Es werden nach und nach einzelne Elektronen registriert, die in Summe das bekannte Beugungsbild ergeben. Anzahl der Elektronen: a: 11, b: 200, c: 6000, d: 40000, e: 140000.

Wird die Beschleunigungsspannung erhöht, so verkleinern sich die Ringe, die Wellenlänge hängt also von der Geschwindigkeit der Elektronen ab. Für eine (sehr windige) Herleitung gehen wir von der Photonenenergie $W_{\mathrm{P}\mathrm{h}}$ aus:

$W_{\mathrm{P}\mathrm{h}}=\frac{h\cdot c}{\lambda }=m{c}^2$.

Dabei soll $m$ die bewegte Masse des Photons in der relativistischen Energiebeziehung sein.
Kürzt man ein $c$, ergibt sich mit dem Impuls $mc=p_{\mathrm{P}\mathrm{h}}$ des Photons:

$\frac{h}{\lambda }=mc=p_{\mathrm{P}\mathrm{h}}$.

Dieses Ergebnis bestätigt sich, wenn wir die allgemein gültige Energie-Impuls-Relation der speziellen Relativitätstheorie verwenden. Es gilt nämlich mit der Ruhemasse $m_0$:

$E^2-p^2\cdot c^2=m_0^2{c}^4$.

Für masselose Teilchen folgt daraus direkt:

$E=p\cdot c$.

Mit der Photonenenergie $E_{\mathrm{P}\mathrm{h}}=\frac{h\cdot c}{\lambda }$ erhält man wie zuvor:

$p_{\mathrm{P}\mathrm{h}}=\frac{h}{\lambda }$.

Wir verwenden nun diese Formel und gehen davon aus, dass sie auch für Elektronen mit entsprechendem Impuls gilt. Wir setzen für $p_{\mathrm{P}\mathrm{h}}$ den Impuls $p=m_e\cdot v$ der Elektronen ein und erhalten für unsere Beschleunigungsspannung $U_{\mathrm{A}}$:

$\lambda =\frac{h}{m_e\sqrt{\frac{2e{U}_{\mathrm{A}}}{m_e}}}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}e{U}_{\mathrm{A}}}}\approx 22\mathrm{p}\mathrm{m}$.

Die Heisenbergsche Unschärferelation

Beugung am Spalt. Je genauer der Ort durch die Spaltbreite festgelegt wird, desto größer wird die Impulsunschärfe.

Werner Heisenberg und Niels Bohr.

Gedankenexperiment: Ein monochromatischer Elektronenstrahl trifft auf einen Einzelspalt. Den Elektronen kann eine Welle mit der De-Broglie-Wellenlänge $\lambda =\frac{h}{p}$ zugeordnet werden. Je schmäler der Spalt, desto breiter das Beugungsbild, also die Ungenauigkeit des Impulses in $x-$Richtung. Wie ist der genaue Zusammenhang?

Damit ein Elektron im Bereich des ersten Minimums auf den Schirm auftrifft, benötigt es einen Impuls $p_x$ in $x-$Richtung von:

$p_x=p_z\cdot \sin (\alpha )(1)$.

Für den Winkel $\alpha$, unter dem das erste Minimum des $\mathrm{\Delta }x$-breiten Einzelspalts auftritt, gilt:

$\sin (\alpha )=\frac{\lambda }{\mathrm{\Delta }x}=\frac{h}{p_z\cdot \mathrm{\Delta }x}(2)$,

wobei für $\lambda$ die De-Broglie-Wellenlänge eingesetzt wurde. Setzen wir $(2)$ in $(1)$ ein, ergibt sich:

$p_x=p_z\cdot \frac{h}{p_z\cdot \mathrm{\Delta }x}=\frac{h}{\mathrm{\Delta }x}$.

Ein Elektron, das den Spalt passiert, findet sich mit großer Wahrscheinlichkeit im Bereich zwischen den beiden ersten Minima wieder. Dieser Bereich ist bei hinreichend schmalem Spalt $\mathrm{\Delta }x$ viel breiter als der Spalt selbst. Um den Bereich auszufüllen benötigt das Elektron nach dem Spalt eine Impulsunschärfe in $x-$Richtung von $\mathrm{\Delta }{p}_x\approx \frac{h}{\mathrm{\Delta }x}$.

Dementsprechend gilt die Heisenbergsche Unschärferelation: Physik Oberstufe: Vorlage:Hervorhebung

Deutung: Sei der Ort eines Teilchens bis auf die Ortsunschärfe $\mathrm{\Delta }x$ bekannt. Dann ist sein Impuls nur bis auf die Impulsunschärfe $\mathrm{\Delta }{p}_x$ wie in der Heisenbergschen Unschärferelation gegeben bestimmbar. Ort und Impuls lassen sich also nicht gleichzeitig beliebig genau messen. Je genauer man eine der Größen bestimmt, umso ungenauer wird die andere.