Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Bolzano-Weierstraß Heine-Borel

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Die Aussagen im letzten Abschnitt über die Topologie von $ℝ$ wurden aus der Metrik hergeleitet, die Vollständigkeit von $ℝ$ wurde nicht vorausgesetzt. In diesem Abschnitt sollen nun 2 Sätze gezeigt werden, die an entscheidenden Punkten die Eigenschaft der Vollständigkeit benutzen.

Der erste Satz ist nach den Mathematikern Bernard Bolzano und Karl Weierstraß benannt. Er beweist die Existenz von Häufungspunkten in beschränkten unendlichen Teilmengen von $ℝ$. Bildlich gesprochen bedeutet dies, dass sich diese unendlich vielen Punkte in einem beschränkten Intervall irgendwo häufen müssen.

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte unendliche Menge hat mindestens einen Häufungspunkt.

Dieser Häufungspunkt muss kein Element aus dieser beschränkten unendlichen Menge sein. Da sich die Punkte irgendwo häufen, sind sicherlich die Eigenschaften beschränkte Menge und unendliche Menge wichtige Voraussetzungen. Der Satz sagt etwas über die Existenz mindestens eines Häufungspunktes aus, nichts über die Anzahl oder die "Lage" solcher Häufungspunkte. Anschaulich erscheint der Satz nach diesen Ausführungen fast wie eine Selbstverständlichkeit. Er ist es nicht, da die Vollständigkeit für den Beweis benötigt wird. Dieser Satz sichert, dass an dem Punkt, an dem sich die Elemente dieser beschränkten unendlichen Menge häufen, auch wirklich ein Häufungspunkt aus $ℝ$ liegt. Dort könnte ja auch eine "Lücke" in $ℝ$ sein.

Wie bei jedem Beweis steht am Anfang die Beweisidee. Diese ist wie folgt:

Um die Eigenschaft der Vollständigkeit von $ℝ$  (jede nichtleere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum in $ℝ)$ zu zeigen, wird zu einer beschränkten unendlichen Menge $M$ eine Hilfsmenge $H$konstruiert, deren Supremum sich als der gesuchte Häufungspunkt erweisen soll. Der Beweis besteht also aus 2 Hauptteilen:

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für eine Hilfsmenge $H$ und
2. Nachweis, dass dieses Supremum ein Häufungspunkt der beschränkten unendlichen Menge $M$ ist.

Beweis (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Sei $M\subset ℝ$ eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge $M$ sei eine Hilfsmenge $H$ wie folgt definiert:

$H:=\{x|x\in ℝ,]-\mathrm{\infty },x[\cap M\}$ ist endlich.

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge $H$

Wenn gezeigt werden kann, dass $H$ eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von $H$.

	$H\ne \mathrm{\varnothing }$	Da die Menge $M$ beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei $u$ eine solche untere Schranke. Dann ist       $]-\mathrm{\infty },u[\cap M=\mathrm{\varnothing }$. Es ist $u$ per Definition ein Element von $H$, jedoch enthält $H$, wie gezeigt, die leere Menge {$\mathrm{\varnothing }$}. Also ist $H$ nicht leer.
	$H$ nach oben beschränkt	Da $M$ beschränkt ist, existiert eine obere Schranke $s$ von $M$. Sei $s_1>s$. Dann ist   $]-\mathrm{\infty },s_1[\cap M=M$ eine unendliche Menge, da $M$ eine unendliche Menge ist. Es folgt $s_1\notin H$. Dann ist $s$ aber auch eine obere Schranke von $H$.

Die Vollständigkeit von $ℝ$ liefert die Existenz eines Supremums $s:=supH$.

2. Das Supremum $s$ := sup $H$ ist ein Häufungspunkt von $M$

Sei ε > 0. Zu zeigen ist: $U$_ε($s$)  =  ] $s$-ε, $s$+ε [ enthält mindestens einen von $s$ verschiedenen Punkt von $M$.

1. Es gibt ein $h$ ∈ $H$ mit $h$ ∈ ] $s$, $s$+ε [, da sonst $s$- ε eine obere Schranke von $H$ wäre. Das kann aber nicht sein, da $s$ als kleinste obere Schranke von $H$ definiert wurde. Mit $h$ ∈ $H$ folgt aus der Definition von $H$, dass es nur endlich viele $x$ ∈ $M$ geben kann mit $x<h$, denn sonst wäre $H$ nicht endlich.
2. Andererseits folgt wegen $s$+ε ($s$ = sup $H$und ε>0), dass es unendlich viele $x$ ∈ $M$ geben muss mit $x$ < $h$+ε
3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele $x$ ∈ $M$ geben muss mit $h$ ≤ $x$ < $h$+ ε (denn zieht man von den unendlich vielen $x$ aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele $x$übrig).

Also gibt es unendlich viele $x$ ∈ $M$ mit $x$ ∈ $U$ _ε($s$). Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von $s$ verschiedenen Punkt zu finden.

Kompakte Teilmengen

Die abgeschlossenen Teilmengen von $ℝ$ wurden als Komplemente der offenen Teilmengen von $ℝ$ definiert. Unter den abgeschlossenen Teilmengen spielen die beschränkten eine besondere Rolle. Dies ist Inhalt des Satzes von Heine-Borel.

Wie schon häufig ist es auch hier wieder erforderlich zuerst einige Begriffe zu definieren:

Definition (offene Überdeckung, kompakt):

1. Es sei $M\subset ℝ$ und $𝔗$ eine Menge offener Teilmengen von $ℝ$. $𝔗$ heißt eine offene Überdeckung von $M$ , wenn
             $M\subset \bigcup _{O\in 𝔗}O$.
   
2. Eine Menge $M\subset ℝ$ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung $𝔗$ von $M$ durch eine endlich Überdeckung ersetzt werden kann, wenn es also ein
             $n\in \mathbb{N}$ und $O_1,\cdots O_n\in 𝔗$ gibt mit   $M\subset \bigcup _{i=1}^n{O}_i$.

Wesentlich an der Definition der kompakten Menge ist, dass jede offene Überdeckung durch eine endliche Überdeckung ersetzt werden kann. Hierzu ein Beispiel:

Sei $𝔗$ folgendes Mengensystem: $𝔗=\{]-n,n[|n\in \mathbb{N}\}$. Offenbar ist $𝔗$ eine offene Überdeckung von $ℝ$. Diese lässt sich aber nicht auf eine endliche Überdeckung reduzieren (was einfach zu zeigen ist, da $ℝ$ archimedisch ist). Im Gegensatz dazu läßt sich natürlich leicht eine endliche Überdeckung für das Mengensystem $𝔗=\{ℝ\}$ angeben. Dieses Beispiel zeigt:

Satz

$ℝ$ ist nicht kompakt.

Die kompakten Teilmengen von $ℝ$ lassen sich, ohne die Eigenschaft der Vollständigkeit von $ℝ$ zu verwenden, durch den folgenden Satz charakterisieren.

Satz

Eine kompakte Teilmenge von $ℝ$ ist beschränkt und abgeschlossen.

Beweis

Die Beweisidee ist, spezielle offene Überdeckungen von kompakten Teilmengen zu konstruieren, diese offenen Überdeckungen dann auf endliche zu reduzieren und aus der reduzierten offenen Überdeckung die gewünschte Eigenschaft (hier die Beschränktheit und Abgeschlossenheit) zu zeigen.

Sei also $M$ eine kompakte Teilmenge von $ℝ$. Zu zeigen ist, dass $M$ beschränkt und abgeschlossen ist.

	$M$ ist beschränkt	Das Mengensystem $𝔗=\{U_1(x)|x\in M\}$ ist offensichtlich eine offene Überdeckung von $M$. Da $M$ kompakt ist lässt sich diese offene Überdeckung auf eine endliche reduzieren. Es gibt also $i=1,\dots ,n$ und $x_i\in M$, so dass gilt: $M\subset \bigcup _{i=1}^n{U}_1(x_i)$. Jedes $x\in M$ muss also in mindestens einer der Umgebungen $U_1(x_i),i=1,\dots ,n$ liegen. Sei $x\in M$ und $U_1(x_i)$ eine 1-Umgebung, die $x$ enthält. Für dieses i gilt: $|x|=|x-x_i+x_i|\le |x-x_i|+|x_i|\le 1+|x_i|$. Für ein beliebiges $x$ ∈ $M$ folgt daraus: $|x|\le 1+max\{|x_1|,\dots ,|x_i|\}$. Und das zeigt die Beschränktheit von $M$.
	$M$ist abgeschlossen	Sei $y\in ℝ\setminus M$. Zu zeigen ist, dass $y$ kein Häufungspunkt von $M$ ist. Hierzu konstruiert man eine ε-Umgebung von $y$, die keinen Punkt aus $M$ enthält. Da $y$ kein Element von $M$ ist gilt $y$ ≠ $x$ für alle $x$ ∈$M$. Also ist das Mengensystem $𝔗=\{U_{\frac{1}{2}|x-y|}(x)|x\in M\}$ eine offene Überdeckung von $M$ . Da $M$kompakt ist lässt sich diese offene Überdeckung auf eine endliche reduzieren. Es gibt also $i=1,\dots ,n$ und $x_i\in M$, so dass gilt: $M\subset \bigcup _{i=1}^n{U}_{\frac{1}{2}|x_i-y|}(x_i)$. Sei $ϵ:=min\{\frac{1}{2}|x_1-y|,\dots ,\frac{1}{2}|x_n-y|\}$. Da die Überdeckung endlich ist gilt ε > 0. Für ein beliebiges  $x\in M$ sei $U_{\frac{1}{2}|x_i-y|}(x_i)$ eine geeignete Umgebung, die $x$ enthält. Für dieses i gilt dann: $|x-y|=|x-x_i+x_i-y|\ge |x_i-y|-|x-x_i|\ge |x_i-y|-\frac{1}{2}|x_i-y|=\frac{1}{2}|x_i-y|\ge ϵ$. Also ist   $U_{ϵ}(y)\cap M=\mathrm{\varnothing }$. Dann kann aber $y$ kein Häufungspunkt von $M$sein. Also ist $M$ abgeschlossen.

Der Satz von Heine-Borel zeigt, dass auch die umgekehrte Richtung für den vorstehenden Satz gilt: Eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von $ℝ$ ist kompakt. Der Beweis in dieser Richtung benutzt die Eigenschaft der Vollständigkeit und ist aufwendig. Um ihn etwas zu vereinfachen wird der folgende Hilfssatz benutzt:

Hilfssatz

Sei $M$ eine nichtleere, nach oben (unten) beschränkte Teilmenge von $ℝ$. Dann ist das Supremum (Infimum) von $M$ ein Berührungspunkt von $M$. Ist $M$ zudem abgeschlossen, ist das Supremum (Infimum) ein Element von $M$, d. h. max $M$ (min $M$) existiert.

Beweis

Für das Supremum ergibt sich die Aussage wie folgt:

Da $ℝ$ vollständig und $M$ nichtleer und nach oben beschränkt ist, existiert $s$ := sup $M$.

	$s$ ist Berühungspunkt	Um zu zeigen, dass $s$ ein Berührungspunkt ist, muss nachgewiesen werden, dass in jeder Umgebung von $s$ ein Punkt aus $M$ liegt. Dies lässt sich durch einen Widerspruchsbeweis zeigen: Annahme: Es gibt ein ε> 0, so dass $U$ε($s$) ∩ $M$ = ∅ Wegen ε> 0 folgt $s$-ε< $s$. Da kein Punkt von $M$ in $U$ε($s$) liegt, kann $s$ keine kleinste obere Schranke von $M$ sein und das ist ein Widerspruch. Also muss die Annahme falsch sein und $s$ ist ein Berührungspunkt von $M$.
	$s$ ∈ $M$	Sei $M$ zudem abgeschlossen. Dann enthält $M$ alle seine Häufungspunkte. Man kann 2 Fälle unterscheiden: 1. Fall: Jede Umgebung von $s$ enthält einen von $s$ verschiedenen Punkt aus $M$. Dann ist $s$ ein Häufungspunkt und in $M$ enthalten. 2. Fall: Es gibt eine Umgebung von $s$, die keinen Punkt aus $M$ enthält. ($s$ ist also ein isolierter Punkt von $M$). Da $s$ ein Berührungspunkt von $M$ ist und kein weiteres Element von $M$ in der Umgebung vorhanden ist, muss $s$ ein Element aus $M$ sein.

Die Aussage über das Infimum läßt sich gleichermaßen zeigen.

Satz von Heine-Borel

Jede Teilmenge von $ℝ$ ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Die abgeschlossenen Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten. Da dies auf die abgeschlossenen und beschränkten Intervalle [ $a$, $b$] zutrifft, erweisen sich diese als erste Beispiele für kompakte Mengen.

Beweis (Satz von Heine-Borel)

Dass eine kompakte Teilmenge von $ℝ$ beschränkt und abgeschlossen ist wurde weiter oben gezeigt. Sei also $M$ eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von $ℝ$. Zu zeigen ist, dass $M$ kompakt ist.

folgt ...