Mathe für Nicht-Freaks: Untervektorraum

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In diesem Artikel betrachten wir den Untervektorraum eines Vektorraums. Der Untervektorraum ist eine Teilmenge des Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum ist.

Eine Teilmenge $U$ des Vektorraums $V$ ist genau dann ein Untervektorraum, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:

• $0_V\in U$.
• Für alle $v,u\in U$ gilt $v+u\in U$.
• Für alle $u\in U$ und für alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot u\in U$.

Diese Äquivalenz nennt man das Untervektorraumkriterium.

Motivation

Wie wir im Zusammenhang mit allgemeinen algebraischen Strukturen wie Gruppen oder Körpern schon gesehen haben, spielen Unterstrukturen in der Mathematik eine große Rolle. Zur Wiederholung: Bei Unterstrukturen handelt es sich um Teilmengen eines Grundraumes, welche die gleichen Eigenschaften erfüllen wie dieser Grundraum. Eine Untergruppe ist zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Genauso ist ein Teilkörper eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist.

Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, um weitere algebraische Strukturen zu definieren. Ein prominentes Beispiel sind die so genannten Quotientenräume. Ein anderer Nutzen von Unterstrukturen ist es, bestimmte algebraische Zusammenhänge zu erkennen. Eine algebraische Unterstruktur kann so als Spezialfall einer größeren Struktur aufgefasst werden. Ein Beispiel sind die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$, die eine Untergruppe bzw. ein Teilring von $\mathbb{Q}$ darstellen. Es lohnt sich also, solche Strukturen genauer zu untersuchen.

In der linearen Algebra betrachten wir eine neue algebraische Struktur: den Vektorraum. Wie vorher können wir auch hier die entsprechende Unterstruktur studieren. Wir betrachten also eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum bildet. Diese nennen wir Untervektorraum.

Untervektorraumkriterium Vorlage:Anker

Herleitung des Kriteriums

Wie finden wir heraus ob eine eine Teilmenge $U$ eines Vektorraumes $V$ ein Untervektorraum ist? Damit $U$ ein Vektorraum ist, müssen alle Vektorraumaxiome für $U$ gelten. Wir machen uns zunächst an einem Beispiel klar, wie das geht.

Nachprüfen der Vektorraumaxiomen für ein Beispiel

Wir betrachten die Teilmenge $U=\{(x,2x{)}^T\mid x\in ℝ\}$ des $ℝ$-Vektorraums $V={ℝ}^2$. Wir wollen herausfinden, ob es sich bei $U$ um einen Untervektorraum von $V={ℝ}^2$ handelt. Laut Definition müssen wir also zeigen, dass die Menge $U$ zusammen mit den Verknüpfungen ${+}_U$ und ${\cdot }_U$ alle Vektorraumaxiome erfüllt. Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen. Wir müssen also beweisen, dass die Vektoraddition und die skalare Multiplikation wohldefiniert sind und dass die acht Axiome gelten.

Zunächst müssen wir zeigen, dass die beiden Verknüpfungen wohldefinierte Abbildungen sind. Entscheidend ist hierbei, ob wir den Wertebereich tatsächlich wie behauptet verkleinern dürfen. Wir erklären das am Beispiel der Vektoraddition genauer: Die Addition $+$ in $V$ ist eine Abbildung $V\times V\to V$ mit $(u,v)\mapsto u+v$. Unsere neue Addition entsteht, indem wir zunächst den Definitionsbereich $V\times V$ einschränken auf die Teilmenge $U\times U$. Wir erhalten eine Abbildung ${+}^{\prime }:U\times U\to V$. Der Wertebereich bleibt also erstmal gleich. Um die Menge $U$ zu einem Vektorraum zu machen, brauchen wir allerdings eine Abbildung ${+}_U:U\times U\to U$. Wir würden gerne einfach den Wertebereich der Abbildung ${+}^{\prime }$ zu $U$ verkleinern. Bevor wir das machen können, müssen wir allerdings nachprüfen, ob das Bild von ${+}^{\prime }$ in $U$ enthalten ist. Anders ausgedrückt müssen wir zeigen, dass für alle $u,u^{\prime }\in U$ gilt: $u{+}^{\prime }{u}^{\prime }\in U$. Per Definition ist ${+}^{\prime }$ nur die Einschränkung von $+$ auf $U\times U$. Es ist daher äquivalent zu zeigen: Vorlage:Important Wir dürfen durch die Addition von Elementen der Menge $U$ diese Menge nicht "verlassen". Diese Eigenschaft nennt man Abgeschlossenheit der Addition.

Ganz analog kann man ein Kriterium für die Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation herleiten: Vorlage:Important

Diese Eigenschaft nennt man Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation.

Wir prüfen diese Eigenschaften nun in unserem konkreten Beispiel nach:

Zunächst die Addition. Sei $u,u^{\prime }\in U$. Das heißt, dass $x,y\in ℝ$ existieren, sodass $u=(x,2x{)}^T$ und $u^{\prime }=(y,2y{)}^T$. Dann ist $u+u^{\prime }=(x+y,2(x+y){)}^T$. Setzen wir $z:=x+y$, so gilt $u+u^{\prime }=(z,2z{)}^T$. Also ist $u+u^{\prime }\in U$.

Nun die Skalarmultiplikation. Sei wie eben $u=(x,2x{)}^T\in U$ und sei $\lambda \in K$. Dann gilt $\lambda \cdot u=(\lambda x,2\lambda x{)}^T$. Setzen wir $z:=\lambda x$, so gilt $\lambda \cdot u=(z,2z{)}^T$. Also ist $\lambda \cdot u^{\prime }\in U$.

Die Abgeschlossenheit für Addition und Skalarmultiplikation gelten also in unserem Fall. Somit sind die Vektorraumoperationen wohldefiniert. Wir bemerken, dass wir hier sehr konkret mit der Definition der Menge $U$ gearbeitet haben. Genauer gesagt haben wir verwendet, dass jedes Element von $U$ von der Gestalt $(x,2x{)}^T$ ist.

Nun können wir uns daran machen, die Vektorraumaxiome nachzuprüfen. Zunächst die vier Axiome zur Addition.

Assozitativgesetz der Addition: Seien $u,v,w\in U$. Wir müssen zeigen, dass $u{+}_U(v{+}_{U}w)=(u{+}_{U}v){+}_{U}w$. Weil ${+}_U$ die Einschränkung von $+$ ist, müssen wir $u+(v+w)=(u+v)+w$ zeigen. Dies gilt, da dass Assoziativgesetz für den Vektorraum $V$ gilt. Wir verwenden hier, dass wegen $U\subseteq V$ auch $u,v,w\in V$ gilt.

Das Kommutativgesetz für $U$ können wir genauso auf das Kommutativgesetz von $V$ zurückführen.

Existenz eines neutralen Elementes: Wir müssen zeigen, dass ein Element $0_{{}_U}\in U$ existiert, sodass $0_{{}_U}{+}_{U}u=u{+}_U{0}_{{}_U}=u$ für alle $u\in U$ gilt. Da $V$ ein Vektorraum ist, gilt $0+v=v+0=v$ für alle $v\in V$. Insbesondere gilt das für alle $u\in U$. Da die Addition in $U$ nur die Einschränkung der Addition in $V$ ist, reicht es also zu zeigen, dass $0\in U$. Denn dann können wir $0_{{}_U}=0$ definieren. Das Element $0\in V={ℝ}^2$ ist genauer gesagt der Vektor $(0,0{)}^T$. Dieser lässt sich schreiben als $(0,2\cdot 0{)}^T$ und liegt damit in $U$. Somit ist die Existenz eines neutralen Elementes der Addition gezeigt.

Existenz von additiven Inversen in $U$: Sei $u\in U$. Wir müssen zeigen, dass ein $u^{\prime }\in U$ existiert, sodass $u{+}_U{u}^{\prime }=0$. Wir wissen, dass $u+(-u)=0$ in $V$ gilt. Es würde also reichen, dass $-u\in U$ gilt, denn dann können wir $u^{\prime }=-u$ wählen. Wir wissen, dass $-u=(-1)\cdot u\in U$ gilt. Außerden haben wir bereits gezeigt, dass $U$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist. Also folgt $-u\in U$. Hier haben wir nur verwendet, dass $U$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist.

Die vier Axiome der Skalarmultiplikation lassen sich auch auf die entsprechenden Eigenschaften von $V$ zurückführen. Dies funktioniert ähnlich wie bei den ersten beiden Axiomen der Addition. Wir verwenden, dass alle relevanten Gleichungen analog in $V$ gelten, wenn man die Operationen in $U$ durch die in $V$ ausdrückt.

Wir sehen also insgesamt: Um zu zeigen, dass die Operationen ${+}_U$ und ${\cdot }_U$ wohldefiniert sind, müssen wir die oben formulierten Eigenschaften der Abgeschlossenheit zeigen. Dafür haben wir eng mit der Definition von $U$ gearbeitet. Weiterhin haben wir für das dritte Axiom der Addition zeigen müssen, dass das neutrale Element der Addition in $V$ auch ein Element von $U$ ist. Auch hier haben wir konkret mit der Definition von $U$ gearbeitet. Das Axiom für die Existenz der inversen Elemente der Addition konnten wir auf die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation zurückgeführt. Für sämtliche andere Axiome konnten wir verwenden, dass die analogen Axiome in $V$ gelten.

Insgesamt haben wir also nur drei Dinge gezeigt:

• Die Abgeschlossenheit von $U$ bezüglich der Addition
• Die Abgeschlossenheit von $U$ bezüglich der Skalarmultiplikation
• $0\in U$

Für diese mussten wir konkret mit der Definition von $U$ und $V$ arbeiten. Die obigen Argumente, dass diese drei Eigenschaften reichen, sollten allgemein für jeden Vektorraum $V$ und alle Teilmengen $U$ von $V$ gelten. Es sollte also im allgemeinen Fall reichen, diese drei Eigenschaften zu beweisen.

Später zeigen wir formell, dass diese Eigenschaften tatsächlich hinreichend sind. Nun überlegen wir uns erstmal, dass die drei Regeln notwendig sind. Wir zeigen also, dass wir keine der drei Regeln weglassen dürfen. Dafür geben wir Teilmengen von $V={ℝ}^2$ an, die jeweils zwei Regeln befolgen aber eine brechen wodurch sie keine Vektorräume sind.

Gegenbeispiel: Leere Menge

Wir betrachten zunächst die leere Menge $U=\mathrm{\varnothing }$. Diese ist natürlich eine Teilmenge des ${ℝ}^2$.

Überprüfen wir die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition, $\mathrm{\forall }u,u^{\prime }\in U:u+u^{\prime }\in U$, so ist diese erfüllt. Dies liegt daran, dass Allaussagen über die leere Menge trivialerweise immer gelten. Genauso ist die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation erfüllt.

Allerdings gilt die dritte Regel nicht: $0\notin U$, denn die leere Menge enthält per Definition keine Elemente. Die Eigenschaft $0\in U$ lässt sich also im Allgemeinen nicht aus der Abgeschlossenheit der Addition und der skalaren Multiplikation ableiten.

Es handelt sich bei $U$ also nicht um einen Vektorraum, denn $U$ enthält kein Element, insbesondere kein neutrales Element der Addition. Dementsprechend kann $U$ auch kein Untervektorraum sein. Die Eigenschaft $0\in U$ lässt sich im Allgemeinen nicht aus den Abgeschlossenheitseigenschaften ableiten.

Gegenbeispiel: Ganzzahlige VektorenVorlage:Anker

Kommen wir nun zu unserem zweiten Beispiel: die Menge der ganzzahligen Vektoren $U:={\mathbb{Z}}^2$. Wenn wir die Vektoren mit Punkten im ${ℝ}^2$ identifizieren, erhalten wir:

${\mathbb{Z}}^2$ als Teilmenge des ${ℝ}^2$

Diese Menge ist offensichtlich eine Teilmenge von ${ℝ}^2$ und es stellt sich wieder die Frage, ob sie ein Untervektorraum ist. Im Unterschied zum ersten Beispiel ist nun der Nullvektor $0=(0,0{)}^T$ in $U={\mathbb{Z}}^2$ enthalten, schließlich ist dieser ganzzahlig. Auch alle anderen Axiome der Vektoraddition sind gültig. Die Summe zweier Vektoren aus ${\mathbb{Z}}^2$ ist wieder in ${\mathbb{Z}}^2$.

Dennoch ist der ${\mathbb{Z}}^2$ kein Untervektorraum von ${ℝ}^2$, denn ${\mathbb{Z}}^2$ ist nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation. Es ist beispielsweise $v=(1,0{)}^T\in {\mathbb{Z}}^2$ und $\lambda =\frac{1}{2}\in ℝ$, aber $\lambda \cdot v={(\frac{1}{2},0)}^T$ ist nicht in ${\mathbb{Z}}^2$ enthalten. Somit erfüllt ${\mathbb{Z}}^2$ nicht alle Vektorraumaxiome und ist daher auch kein Untervektorraum.

Die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation lässt sich daher nicht aus den anderen Eigenschaften herleiten. Wenn wir nachweisen wollen, dass $U$ ein Untervektorraum ist, müssen wir immer zeigen, dass für jedes $u\in U$ und für jeden Skalar $\lambda \in K$ auch $\lambda \cdot u\in U$ ist.

Gegenbeispiel: Achsenkreuz Vorlage:Anker

Wir haben in beiden Beispielen von oben bereits gesehen, dass jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und abgeschlossen ist unter der Skalarmultiplikation. Zum Schluss wollen wir noch ein drittes und letztes Beispiel anschauen, das obige beiden Bedingungen erfüllt, aber trotzdem nicht alle Vektoraumaxiome erfüllt. Dazu wählen wir uns das Achsenkreuz, die Menge die durch Vereinigung der beiden Ursprungsgeraden $G:=\{(0,t{)}^T:t\in ℝ\}$ und $H:=\{(t,0{)}^T:t\in ℝ\}$ entsteht. Wir betrachten also die Teilmenge $U:=G\cup H\subseteq {ℝ}^2$. In der Ebene als Punkte veranschaulicht sieht die Menge so aus:

Das unendliche Kreuz

Handelt es sich bei $U$ um einen Untervektorraum? Offenbar ist der Nullvektor $0$ in $U$ enthalten. Außerdem gilt für ein beliebiges $v\in U$ und $\lambda \in ℝ$, dass auch $\lambda v$ ein Element von $U$ ist. Somit ist $U$ abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation. Trotzdem handelt es sich bei $U$ um keinen Untervektorraum. Um das zu sehen, wählen wir die Vektoren $v_1=(1,0{)}^T$ und $v_2=(0,1{)}^T$. Dann gilt $v_1,v_2\in U$, aber für die Summe gilt $v_1+v_2=(1,1{)}^T\notin U$.

Also kann die Abgeschlossenheit unter der Vektorraumaddition nicht aus den anderen Eigenschaften hergeleitet werden. Das heißt wir müssen, die Abgeschlossenheit unter der Vektorraumaddition immer nachprüfen, um zu beweisen, dass $U$ ein Untervektorraum ist.

Aussage und Beweis des Kriteriums Vorlage:Anker

Wir haben uns an einem Beispiel überlegt, dass eine Teilmenge $U$ von $V$ ein Untervektorraum ist, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

• Abgeschlossenheit bezüglich der Addition,
• Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation und
• $0\in U$.

Wir haben Beispiele für Teilmengen $U$ von $V$ gesehen, bei denen jeweils eine dieser Eigenschaften nicht erfüllt war und die auch keinen Untervektorraum von $V$ bilden. Also vermuten wir, dass diese drei Eigenschaften an eine Teilmenge notwendig und hinreichend dafür sind, dass es sich bei der Teilmenge um einen Untervektorraum handelt. Dies ist der Satz vom Untervektorraumkriterium, den wir jetzt beweisen werden.

Beweise für Untervektorräume führen Vorlage:Anker

Allgemeine Beweisstruktur

Bevor wir anhand eines Beispiels das Vorgehen genauer untersuchen, ist es sinnvoll, die allgemeine Beweisstruktur zu verstehen. Wie können wir zeigen, dass eine Menge $U$ ein Untervektorraum eines $K$-Vektorraums $V$ ist? Wir können das Untervektorraumkriterium nutzen, das wir gerade gelernt haben. Damit wir das Kriterium anwenden können müssen wir zunächst die Voraussetzungen überprüfen. Der Satz setzt voraus, dass $U\subseteq V$. Um dann zu zeigen, dass $U$ ein Untervektorraum ist, müssen wir die drei Eigenschaften aus dem Kriterium nachprüfen. Insgesamt müssen wir also folgende vier Aussagen zeigen:

1. $U\subseteq V$
2. $0\in U$.
3. Für alle $v,u\in U$ gilt $v+u\in U$.
4. Für alle $u\in U$ und für alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot u\in U$.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis Wie sehen Beweise dieser Aussagen aus? Die Beweisstruktur dieser Aussagen sieht so aus: Vorlage:Liste

Beweis finden Vorlage:Anker

Wir betrachten eine Beispielaufgabe:

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe Wir wollen das Untervektorraumkriterium auf $U$ anwenden. Dazu überprüfen wir die Voraussetzungen des Satzes nach obigem Schema.

• $U\subseteq {ℝ}^2$: sei $v\in U$. Nach Definition von $U$ existiert $\lambda \in ℝ$ mit $v=\lambda \cdot u$. Da ${ℝ}^2$ ein Vektorraum ist, folgt $v=\lambda \cdot u\in {ℝ}^2$.
• $0\in U$: Wir haben in Eigenschaften von Vektorräumen gesehen, dass für jeden Vektor $v\in {ℝ}^2$ gilt $0\cdot v=0$. Also gilt auch $0\cdot u=0$. Damit folgt $0\in U$.
• Abgeschlossenheit bzgl. Addition: Seien $v,w\in U$. Nach Definition von $U$ existieren $\lambda ,\mu \in ℝ$ mit $v=\lambda \cdot u$ und $w=\mu \cdot u$. Da $v,w\in {ℝ}^2$ können wir sie addieren: $v+w=\lambda \cdot u+\mu \cdot u=(\lambda +\mu )\cdot u$. Wegen $\lambda +\mu \in ℝ$ folgt $v+w\in U$.
• Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation: Sei $v\in U$ und sei $\mu \in ℝ$. Nach Definition von $U$ existiert $\lambda \in ℝ$ mit $v=\lambda \cdot u$. Da $v\in {ℝ}^2$ können wir es mit $\mu$ multiplizieren: $\mu \cdot v=\mu \cdot (\lambda \cdot u)=(\mu \cdot \lambda )\cdot u$. Wegen $\mu \cdot \lambda \in ℝ$ folgt $\mu \cdot v\in U$.

Dies zeigt, dass alle Voraussetzungen gelten, also folgt mit dem Untervektorraumkriterium, dass $U$ ein Untervektorraum von ${ℝ}^2$ ist.

Beweis aufschreiben

Nun können wir den Beweis aufschreiben:

Beispiele und Gegenbeispiele für Untervektorräume

Beispiele Vorlage:Anker

Im Folgenden schauen wir uns erste Beispiele an, um unsere Vorstellung von Untervektorräumen zu festigen und Fehlinterpretationen vorzubeugen. Dabei werden wir auch das Untervektorraumkriterium verwenden.

Triviale Untervektorräume

In jedem $K$-Vektorraum $V$ gibt es zwei "triviale" Untervektorräume:

Folgendes Beispiel mit $V=ℝ$ zeigt, dass es manchmal nur die trivialen Untervektorräume gibt:

Gerade durch den Ursprung

In diesem Beispiel betrachten wir eine Gerade $U$ im ${ℝ}^2$, die durch den Ursprung geht. Die Geradengleichung soll durch $y=2x$ gegeben sein. Also können wir die Gerade als Menge von Punkten so aufschreiben: Vorlage:Einrücken

Die Gerade U

Ein Untervektorraum von ${ℝ}^3$

In der folgenden Aufgabe betrachten wir eine Ebene im ${ℝ}^3$, die durch die $0$ geht. Wir zeigen, dass diese Ebene ein Untervektorraum des ${ℝ}^3$ bildet.

Ein Untervektorraum des Polynomvektorraumes

Wenden wir uns nun einem etwas abstrakteren Beispiel zu, nämlich dem Polynomvektorraum. Wir zeigen, dass die Teilmenge der Polynome bis Grad $n$ ein Untervektorraum ist:

Gegenbeispiele

Wir haben schon oben bei der Herleitung drei Beispiele für Teilmengen des ${ℝ}^2$ gesehen, die keinen Untervektorraum bilden. Zum besseren Verständnis betrachten wir nun auch für andere Vektorräume Gegenbeispiele.

Andere Kriterien für Untervektorräume

Wir lernen nun drei Kriterien kennen, die in vielen Fällen die Beweise einfacher machen. Dazu werden wir vorgreifen und den Begriff der linearen Abbildung benutzen.

Kern einer linearen Abbildung

Bei den Beispielen für Untervektorräume haben wir die folgenden Mengen betrachtet: Vorlage:Einrücken Wir haben oben nachgewiesen, dass $U_1$ und $U_2$ Untervektorräume von ${ℝ}^2$ bzw. ${ℝ}^3$ sind. Die beiden Mengen sind nach dem gleichen Prinzip definiert. Die Untervektorräume enthalten alle Vektoren, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Die Bedingungen sind Vorlage:Einrücken Diese sehen sehr ähnlich aus. Beide Bedingungen sagen uns, dass ein Ausdruck in $x$ und $y$ bzw. in $a,b$ und $c$ gleich Null sein soll. Dieser Ausdruck ist linear in $x,y$ bzw. $a,b,c$. Das heißt beide Formeln lassen sich auch als lineare Abbildungen hinschreiben: Vorlage:Einrücken Damit können wir unsere Untervektorräume umschreiben zu Vorlage:Einrücken

Damit ist $U_1$, sowie $U_2$ der Kern einer linearen Abbildung. Man kann ganz allgemein zeigen, dass der Kern einer linearen Abbildung immer ein Untervektorraum ist.

Bild einer linearen Abbildung

Genau wie beim Kern kann man ganz allgemein zeigen, dass das Bild einer linearen Abbildung immer ein Untervektorraum ist. Damit können wir manchmal einfachere Beweise dafür finden, dass eine gegebene Menge ein Untervektorraum ist.

Wenn wir uns die Rechnung noch einmal ansehen, merken wir, dass es auf die $x$-Werte $0,2$ und $4$ gar nicht ankam. Der Beweis geht genauso für die Aussage:

Seien $r,s,t\in ℝ$ (und diese Zahlen können, müssen aber nicht, verschieden sein). Die Abbildung $f:V\to {ℝ}^3$, $f(p)=(p(r),p(s),p(t){)}^T$ ist linear und das Bild von $f$ ist ein Untervektorraum des ${ℝ}^3$.

Wir wissen, dass $U=f(V)\subseteq {ℝ}^3$ ein Unterraum ist. Wir finden auch eine explizite Darstellung für $U$: Ein Polynom $p\in V$ hat die Form $p(x)=ax+b$ für $a$ und $b\in ℝ$. Außerdem ist $p(0)=b$ und $p(2)=2a+b$ und $p(4)=4a+b$.

Der Unterraum $U$ hat damit die Gestalt Vorlage:Einrücken Es handelt sich also um eine Ebene im ${ℝ}^3$.

Erzeugnis von Vektoren

Wir werden später einen allgemeinen Satz beweisen, dass jedes Erzeugnis einer Teilmenge $M\subseteq V$ ein Untervektorraum von $V$ ist.

Damit können wir einen Beweis von oben kürzer fassen:

Wir haben oben nachgerechnet, dass für $u\in {ℝ}^2$ und $U:=\{\lambda \cdot u|\lambda \in ℝ\}$ die Menge $U$ ein Untervektorraum des $ℝ$-Vektorraums ${ℝ}^2$ ist.

Die Menge $U$ ist genau das Erzeugnis von der Menge $M=\{u\}$ im Vektorraum $v={ℝ}^2$. Das Erzeugnis von $M$ sind genau alle Linearkombinationen von Elementen aus $M$. In unserem Fall sind das gerade die Vielfachen von $u$. Daher ist $U$ ein Untervektorraum des ${ℝ}^2$.

Aufgaben

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