Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung: Bild

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Das Bild einer linearen Abbildung $f:V\to W$ ist die Menge aller Vektoren in $W$, die von $f$ getroffen werden. Diese Menge von Vektoren bildet einen Untervektorraum von $W$ und kann benutzt werden, um die lineare Abbildung $f$ surjektiv zu machen.

Herleitung

Bild der linearen Abbildung $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^3;$$(x,y{)}^T\mapsto (x,y,-0,5x{)}^T$

Visualisierung der linearen Abbildung $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2;$$(x,y{)}^T\mapsto (x+y,0{)}^T$

Wir betrachten eine lineare Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$. Ein Vektor $v\in V$ wird von $f$ in einen Vektor $f(v)\in W$ überführt. Die Abbildung $f$ trifft nicht zwingend alle Elemente aus $W$, denn $f$ ist nicht unbedingt surjektiv. Die abgebildeten Vektoren $f(v)$ bilden die Teilmenge $\{f(v)|v\in V\}\subseteq W$. Diese Menge heißt Bild von $f$.

Weil $f$ linear ist, erhält $f$ die Struktur der Vektorräume $V$ und $W$. Deshalb vermuten wir, dass $f$ den Vektorraum $V$ wieder auf einen Vektorraum abbildet. Folglich sollte das Bild von $f$, also die Menge $\{f(v)|v\in V\}$ ein Untervektorraum von $W$ sein. Das werden wir unten in einem Satz beweisen.

Definition

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis In der Herleitung haben wir uns schon überlegt, dass $\mathrm{im}(f)$ ein Untervektorraum von $W$ sein sollte. Das beweisen wir nun formal. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Bild und Surjektivität

Wir wissen bereits, dass eine Abbildung $f:V\to W$ genau dann surjektiv ist, wenn die Abbildung alle Elemente von $W$ trifft. Formal heißt das: $f:V\to W$ ist genau dann surjektiv, wenn $\mathrm{im}(f)=W$. Wenn $f$ eine lineare Abbildung ist, dann ist $\mathrm{im}(f)$ ein Untervektorraum von $W$. Ist zusätzlich $W$ endlich-dimensional, dann ist $f$ genau dann surjektiv, wenn $\dim W=\dim (\mathrm{im}(f))$ gilt. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel Manchmal ist es nützlich die Surjektivität von $f$ zu zeigen, indem man $\dim (\mathrm{im}(f))=\dim W$ beweist.

Der Zusammenhang von Bild und Erzeugendensystemen

Wir haben im Artikel über Epimorphismen gesehen, dass eine lineare Abbildung $f:V\to W$ genau dann Erzeugendensysteme von $V$ erhält, wenn sie surjektiv ist. In diesem Fall erzeugt das Bild jedes Erzeugendensystems von $V$ den ganzen Zielvektorraum $W$. Insbesondere erzeugt das Bild jedes Erzeugendensystems von $V$ das Bild $\mathrm{im}(f)$ von $f$. Die letzte Aussage gilt auch für nicht-surjektive lineare Abbildungen:

Bild und lineare Gleichungssysteme Vorlage:Anker

Sei $A$ eine $(n\times m)$-Matrix und $b\in K^n$. Das dazugehörige lineare Gleichungssystem ist $Ax=b$. Wir können die Matrix $A$ auch als eine lineare Abbildung $f_A:K^m\to K^n,x\mapsto Ax$ auffassen. Insbesondere ist das Bild $\mathrm{im}(f_A)$ von $f_A$ eine Teilmenge von $K^n$.

Ist $b\in \mathrm{im}(f_A)$, so gibt es ein $x_0\in K^m$, so dass $f_A(x_0)=b$ gilt. Nach Definition von $f_A$ folgt $A{x}_0=b$. Das lineare Gleichungssystem $Ax=b$ ist also lösbar. Wenn umgekehrt $Ax=b$ lösbar ist, so existiert ein $x_0\in K^m$ mit $A{x}_0=b$. Für dieses $x_0$ gilt nun $f_A(x_0)=b$. Somit ist $b\in \mathrm{im}(f_A)$.

Damit gibt uns das Bild ein Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen: Ein lineares Gleichungssystem $Ax=b$ ist genau dann lösbar, wenn $b$ im Bild von $f_A$ liegt. Das Kriterium macht allerdings keine Aussage über die Eindeutigkeit von Lösungen. Dafür kann man den Kern nutzen.

Beispiele

Wir wollen uns nun ansehen, wie man das Bild einer linearen Abbildung bestimmen kann.

Nachdem wir zwei Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet haben, können wir uns an ein Beispiel mit einem unendlich-dimensionalen Vektorraum wagen. Wir haben die gleiche Funktion bereits bei den Beispielen zur Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung kennengelernt.

Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir viele weitere Beispiele sehen. Außerdem werden wir einen methodischen Lösungsweg für die Bestimmung von Bildern kennenlernen.

Lineare Abbildungen episch machen

Wir wollen nun aus einer linearen Abbildung $f:V\to W$ eine surjektive lineare Abbildung konstruieren. Wenn wir $f$ als eine Abbildung von Mengen ansehen, wissen wir schon, wie wir dies erreichen können: Wir schränken das Ziel von $f$ auf $\mathrm{im}(f)$ ein und erhalten die Abbildung $f^{\prime }:V\to \mathrm{im}(f);v\mapsto f(v)$. Wir müssen nur noch checken, dass $f^{\prime }$ linear ist. Dies wissen wir aber, da $\mathrm{im}(f)\subseteq W$ ein Untervektorraum von $W$ ist. Alles, was wir noch tun müssen, um $f$ surjektiv zu machen (also zu einem Epimorphismus) ist, das Ziel von $f$ auf $\mathrm{im}(f)$ einzuschränken.

Diese Methode liefert uns auch einen Ansatz, wie wir Abbildungen zwischen anderen Strukturen surjektiv machen können: Wir müssen checken, dass die Einschränkung auf das Bild wieder die Struktur erhält. Beispielsweise können wir für einen Gruppenhomomorphismus $\phi :G\to H$ zeigen, dass $\mathrm{im}(\phi )$ wieder eine Gruppe ist und ${\phi }^{\prime }:G\to \mathrm{im}(\phi );g\mapsto \phi (g)$ wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Ausblick: Wie surjektiv ist eine lineare Abbildung? – Der Kokern

Im Kern-Artikel sehen wir, dass der Kern genau diejenige Information speichert, welche eine lineare Abbildung $f:V\to W$ "verliert". Weiter ist $f$ genau dann injektiv ist, wenn $\ker (f)=0$ ist und der Kern stellt intuitiv ein Maß für die nicht-Injektivität von $f$ dar.

Wir wollen jetzt ein ähnliches Maß für die Surjektivität von $f$ konstruieren. Das Bild von $f$ reicht hierfür nicht aus: Beispielsweise sind die Bilder von $g:{ℝ}^2\to {ℝ}^2;(x,y{)}^T\mapsto (x,y{)}^T$ und $h:{ℝ}^2\to {ℝ}^3;(x,y)\mapsto (x,y,0)$ isomorph, aber $g$ ist surjektiv und $h$ ist es nicht. Allein aus dem Bild lassen sich keine Rückschlüsse darauf ziehen, ob $f$ surjektiv ist, denn die Surjektivität hängt auch vom Zielraum $W$ ab. Um die "Nicht-Surjektivität" zu messen, benötigen wir hingegen einen Vektorraum, der den Anteil von $W$ misst, welcher von $f$ nicht getroffen wird.

Der Raum $\mathrm{im}(f)$ enthält die Information, welche Vektoren von $f$ getroffen werden. Ziel ist es, aus $W$ "diese Information zu entfernen". Dieses "Entfernen von Informationen" haben wir im Artikel zum Faktorraum bereits durch die Konstruktion eines Raums $W/\mathrm{im}(f)$ realisiert. Diesen Raum $W/\mathrm{im}(f)$ nennen wir den Kokern von $f$. Er eignet sich tatsächlich für die Charakterisierung der "Nicht-Surjektivität" von $f$, denn $W/\mathrm{im}(f)$ ist genau dann gleich dem Nullraum $\{0\}$, wenn $f$ surjektiv ist: Ein Vektor in $W$, der nicht von $f$ getroffen wird, liefert ein nichttriviales Element in $W/\mathrm{im}(f)$ und umgekehrt liefert ein nichttriviales Element in $W/\mathrm{im}(f)$ ein Element in $W$, welches nicht von $f$ getroffen wird.

Der Kokern misst sogar, wie nicht-surjektiv $f$ genau ist: Wenn $W/\mathrm{im}(f)$ größer ist, werden mehr Vektoren von $W$ nicht getroffen. Wenn $W$ endlichdimensional ist, können wir die Größe von $W/\mathrm{im}(f)$ mit Hilfe der Dimension messen. Damit ist $\dim (W/\mathrm{im}(f))=\dim (W)-\dim (\mathrm{im}(f))$ eine Zahl, mit der wir die Nicht-Surjektivität von $f$ beziffern können. Diese Zahl erlaubt im Gegensatz zu $W/\mathrm{im}(f)$ allerdings keine Rekonstruktion der genauen Vektoren angibt, die nicht von $f$ getroffen werden.

Aufgaben

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