Mathe für Nicht-Freaks: Spann, Erzeugnis, lineare Hülle

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In der linearen Algebra ist das Erzeugnis einer Teilmenge $M$ eines Vektorraums $V$ über einem Körper $K$ die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus $M$ und Skalaren aus $K$. Das Erzeugnis wird oft auch die lineare Hülle von $M$ oder der Spann von $M$ genannt.

Das Erzeugnis bildet einen Untervektorraum des Vektorraums $V$. Dieser ist der kleinste Untervektorraum, der $M$ enthält.

Herleitung des Erzeugnisses

Erzeugende Vektoren der $xy$-Ebene

Wir betrachten den uns wohl bekannten Vektorraum ${ℝ}^3$ und beschränken uns zunächst auf die $xy$-Ebene. Das heißt, auf die Menge aller Vektoren der Form $(a,b,0{)}^T$ mit $a,b\in ℝ$:

Die xy-Ebene im dreidimensionalen Raum

Jeder Vektor dieser Ebene lässt sich als Linearkombination der Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$ darstellen:

Mit der Menge dieser Linearkombinationen kann jeder Punkt der $xy$-Ebene erreicht werden. Außerdem liegen die beiden Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$ selbst in der $xy$-Ebene. Darüber hinaus liegen alle Linearkombination der beiden Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$ in der $xy$-Ebene. Das liegt daran, dass die $z$-Komponente der beiden betrachteten Vektoren $0$ ist und damit auch die dritte Komponente der Linearkombination der Vektoren immer $0$ betragen muss.

Zusammenfassend können wir festhalten: Jeder Vektor der $xy$-Ebene ist eine Linearkombination von $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$. Jede Linearkombination dieser beiden Vektoren ist auch ein Element dieser Ebene. Wir können auch sagen, die Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$ spannen die $xy$-Ebene auf. Oder: Die beiden Vektoren erzeugen die betrachtete Ebene.

Die $xy$-Ebene stellt einen Untervektorraum des Vektorraums ${ℝ}^3$ dar. Diesen Untervektorraum nennen wir $U$. Unsere beiden Vektoren spannen die Ebene $U$ auf. Also schreiben wir

Wir sagen, „$U$ ist das Erzeugnis der beiden Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$“. Oft schreibt man auch „$U$ ist die lineare Hülle der beiden Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$“ oder „$U$ ist der Spann der beiden Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(0,1,0{)}^T$“.

Es stellt sich nun die Frage: Sind diese erzeugenden Vektoren eindeutig? Nein, denn die Ebene $U$ lässt sich auch durch die beiden Vektoren $(1,0,0{)}^T$ und $(1,1,0{)}^T$ aufspannen, denn

Es gilt also auch Vorlage:Einrücken Somit sind die beiden Vektoren, die wir für die Beschreibung unserer Ebene benötigen, nicht zwingend eindeutig.

Intuitiv können wir uns das Erzeugnis von Vektoren als die Menge aller möglichen Linearkombinationen vorstellen, die man aus diesen Vektoren bilden kann. In unserem Beispiel bedeutet das Vorlage:Einrücken Eine weitere Intuition ist: Das Erzeugnis einer Menge $M$ beschreibt den Vektorraum, bei dem alle die Richtungen, die durch Elemente aus $M$ repräsentiert werden, zu einem Vektorraum zusammengeführt werden.

Das Erzeugnis der geraden Monome

Wir untersuchen nun noch ein etwas komplizierteres Beispiel: Betrachten wir den Vektorraum $V$ der Polynome über $ℝ$. Sei $M=\{x^n|n\in {\mathbb{N}}_0\text{ ist gerade}\}\subset V$. Die Elemente aus $M$ sind die Monome $1$, $x^2$, $x^4$, $x^6$ usw. Also alle Monome, die einen geraden Exponenten besitzen. Zum Beispiel ist $x^3\notin M$. Wir betrachten $\mathrm{span}(M)$, die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus $M$. Zum Beispiel ist $2x^2+5x^4+9x^8+7x^{12}$ ein Element in $\mathrm{span}(M)$. Wir überlegen uns, dass $\mathrm{span}(M)$ ein Untervektorraum von $V$ ist.

Die Menge $\mathrm{span}(M)$ ist nicht leer. Denn z.B. ist $x^2\in M$.

Betrachten wir nun zwei Polynome $p,q\in \mathrm{span}(M)$. Nach Konstruktion von $\mathrm{span}(M)$ bestehen $p$ und $q$ ausschließlich aus Monomen mit einem geraden Exponenten. Somit ergibt sich bei der Addition von $p$ und $q$ ebenfalls ein Polynom mit ausschließlich geraden Exponenten. Die Menge $\mathrm{span}(M)$ ist also abgeschlossen bzgl. der Addition.

Das gleiche Argument liefert uns Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation. Somit ist die Menge $\mathrm{span}(M)$ ein Untervektorraum des Vektorraums aller Polynome. Wie wir später noch sehen werden, ist es sogar der kleinste Untervektorraum, welcher $M$ enthält.

Definition des Erzeugnises

Wir haben uns schon überlegt, dass das Erzeugnis einer Menge $M$ die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus $M$ ist. Intuitiv ist das Erzeugnis der Untervektorraum, der sich aus dem Zusammenschluss aller Richtungen ergibt, die durch Vektoren aus $M$ gegeben sind. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis

Beispiele

Der Vektor $x=(1,2{)}^T$ spannt eine Ursprungsgerade auf

Übersicht: Eigenschaften des Erzeugnisses

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $M$, $N\subseteq V$ Teilmengen von $V$ und $W\subseteq V$ ein Untervektorraum von $V$, dann

• Für einen Vektor $v\in V$ gilt $\mathrm{span}(\{v\})=\{\lambda \cdot v|\lambda \in K\}$
• Wenn $N\subseteq M$, dann $\mathrm{span}(N)\subseteq \mathrm{span}(M)$
• Aus $\mathrm{span}(N)=\mathrm{span}(M)$ folgt im Allgemeinen nicht $N=M$
• $M\subseteq \mathrm{span}(M)$
• $\mathrm{span}(M)$ ist ein Untervektorraum
• Für einen Untervektorraum $W$ ist $\mathrm{span}(W)=W$
• $\mathrm{span}(M)$ ist der kleinste Untervektorraum von $V$, der $M$ enthält
• $N\subseteq \mathrm{span}(M)⟺\mathrm{span}(M)=\mathrm{span}(M\cup N)$
• $\mathrm{span}(\mathrm{span}(M))=\mathrm{span}(M)$

Eigenschaften des Erzeugnisses

Das Erzeugnis eines Vektors $v$ in $V$

Für einen Vektor $v\in V$ gilt $\mathrm{span}(\{v\})=\{\lambda \cdot v|\lambda \in K\}$. Für den Nullvektor $v=0$ besteht das Erzeugnis wieder nur aus dem Nullvektor, also $\mathrm{span}(\{0\})=\{0\}$. Gilt $v\ne 0$, dann ist $\mathrm{span}(\{v\})$ genau die Menge der Elemente, die auf der Ursprungsgeraden zu dem Richtungsvektor $v$ liegen.

Überprüfen, ob bestimmte Vektoren zum Erzeugnis gehören

Nachdem wir einige Eigenschaften des Erzeugnisses kennengelernt haben, wollen wir in diesem Abschnitt beispielhaft darstellen, wie wir nachweisen können, ob ein Vektor eines Vektorraums $V$ innerhalb des Erzeugnisses einer Teilmenge dieses Vektorraums liegt oder nicht. Wir werden feststellen, dass wir, um diese Frage beantworten zu können, ein lineares Gleichungssystem lösen müssen.

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