Mathe für Nicht-Freaks: Gruppen

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur mit einer inneren Verknüpfung. Intuitiv besteht eine Gruppe aus Operationen, die man rückgängig machen kann.

Einleitung

Ein erstes Beispiel: Vertauschen von Steinen

Stellen wir uns folgende Situation vor: Wir haben drei Steine, die in einer Reihe liegen. Diese Steine können wir umordnen, also ihre Reihenfolge verändern. Wir möchten jetzt dieses einfache Szenario etwas genauer untersuchen.

Dazu müssen wir zunächst klären, was wir unter Umordnungen verstehen: Eine Umordnung ist eine Vorschrift, die angibt, von welcher Position aus ein Stein auf welche Position verlegt wird. Nach einer Umordnung muss jeder Stein wieder auf einer Position liegen und keine Position darf doppelt besetzt sein. Dabei erlauben wir auch, dass Ausgangs- und Endposition eines oder mehrerer Steine gleich sind. Insbesondere betrachten wir "Nichts tun", also das Belassen aller Steine an ihrem Platz auch als eine Umordnung. Diese Umordnung spielt eine entscheidende Rolle. Deshalb geben wir ihr auch einen eigenen Namen; wir nennen sie die "Identitätstransformation". Weitere Beispiele für Umordnungen sind "Der linke und der rechte Stein tauschen die Plätze" oder "Der linke Stein wandert in die Mitte, der mittlere Stein wandert nach rechts, und der rechte nach links".

Etwas formaler: mathematisch betrachtet bilden die Positionen der Steine die Menge $\{\text{links},\text{mittig},\text{rechts}\}$. Wenn wir einen Stein bewegen, verschieben wir ihn von einem Element dieser Menge auf ein anderes. Wir können also Umordnungen der Steine als Abbildungen dieser Menge auf sich selbst auffassen. Da nie zwei verschiedene Steine auf dieselbe Position verschoben werden dürfen (können), ist eine Umordnung (aufgefasst als Abbildung) injektiv; da jede Position wieder besetzt werden muss, ist sie außerdem surjektiv. Bei unseren Umordnungen handelt es sich also um bijektive (injektive und surjektive) Abbildungen einer dreielementigen Menge auf sich selbst. Umgekehrt entspricht jede bijektive Abbildung $f$ der Menge $\{\text{links},\text{mittig},\text{rechts}\}$ in sich selbst einer Umordnung. (Der Stein auf Position x wird unter der zu f korrespondierenden Umordnung auf die Position f(x) verschoben.) Tatsächlich spielt lediglich die Größe der Menge (drei) mathematisch eine Rolle. Wir könnten genauso gut auch drei Stifte, Kaffeetassen, Radiergummis etc. vertauschen, oder andere Bezeichnungen für die zu besetzenden Positionen wählen (wie oben-Mitte-unten oder vorne-Mitte-hinten). Wir untersuchen also eigentlich Vertauschungen von drei unterscheidbaren Objekten.

Was passiert, wenn wir Vertauschungen (Umordnungen) hintereinander ausführen? Zum Beispiel können wir zuerst den linken mit dem mittleren Stein vertauschen, und anschließend den (neuen) mittleren Stein mit dem rechten. In diesem Fall erhalten wir das gleiche Endergebnis, wie wenn wir in einem Schritt den linken Stein ganz nach rechts legen, und die anderen jeweils um eins nach links verschieben. Diese Situation lässt sich in einer Grafik veranschaulichen (zur Verdeutlichung haben wir die Steine eingefärbt):

Wir behaupten nun, dass sich jede beliebige Hintereinanderausführung von zwei (oder sogar mehr) Umordnungen immer auch in einem einzigen Durchgang realisieren lässt. In anderen Worten: Die Hintereinanderausführung von Umordnungen ergibt wieder eine Umordnung.

Dies überprüfen wir in zwei Schritten:

Zunächst müssen wir alle möglichen Umordnungen finden. Bei drei Steinen ließe sich das noch mit etwas Herumprobieren bewerkstelligen. Wir wollen hier aber den systematischen Weg demonstrieren. Dazu bauen wir die Umordnungen Stück für Stück auf: Als Erstes legen wir fest, auf welche Position der linke Stein bewegt wird. Wir haben drei Plätze zur Auswahl. Dann bewegen wir den mittleren Stein. Da keine Position doppelt belegt werden darf, stehen für jede mögliche Endposition des linken Steins noch zwei für den mittleren Stein zur Auswahl. Für den rechten Stein bleibt dann stets nur eine Möglichkeit übrig. Insgesamt gibt es also $6=3\cdot 2\cdot 1$ verschiedene Umordnungen dreier Steine. Dies sind: Die Identitätstransformation, drei verschiedene Arten, jeweils zwei Steine zu vertauschen, und schließlich zwei Arten, einen der äußeren Steine „auf die andere Seite zu bringen“ (siehe Graphik unten).

Da wir nun alle Umordnungen kennen, müssen wir im zweiten Schritt alle möglichen Kombinationen durchprobieren. Das Ergebnis können wir in einer Tabelle, ähnlich einer Einmaleins-Tabelle, darstellen. Dabei gibt die Kopfzeile an, welche Vertauschung zuerst, und die vordere Spalte an, welche Vertauschung daraufhin ausgeführt wird. Das Ergebnis der Verknüpfung steht in der zugehörigen Zelle des Ergebnisbereichs:

Das eingefärbte Beispiel von oben finden wir beispielsweise in der dritten Spalte und zweiten Zeile des Ergebnisbereichs wieder.

Anhand der Tabelle kann man aber noch einige andere Dinge beobachten: Zum Beispiel sind die erste Zeile des Ergebnisbereichs und die Kopfzeile identisch. Die Ergebnisse dieser Zeile entstehen, wenn man nach einer beliebigen Umordnung noch die Identitätstransformation durchführt. Da die Identitätstransformation die Position der Steine nicht ändert, ergibt sich insgesamt die zuerst durchgeführte Umordnung. Dies ist für uns nicht weiter verwunderlich, da wir mit dem zugrundeliegenden Szenario (Umordnungen von drei Steinen) vertraut sind und genau wissen, dass die Identitätstransformation „nichts tut“.

Um uns die wahre Bedeutung dieser Beobachtung vor Augen zu führen, stellen wir uns einmal vor, die Tabelle würde von jemandem betrachtet, dem wir nichts über das Szenario erzählt haben. So eine Person weiß nichts über die drei Steine und hat noch nie etwas von Umordnungen gehört. Für diese Person sind die Einträge in der Tabelle einfach abstrakte Symbole, die ansonsten keine weitere Bedeutung tragen. Wir können uns in diese Situation versetzen, indem wir die Umordnungssymbole in der Tabelle durch beliebige andere Symbole ersetzen, die nichts mehr mit den drei Steinen zu tun haben. Wir können zum Beispiel simple geometrische Formen wählen, einen Kreis für die Identitätstransformation und so weiter:

Natürlich sind auch in dieser Version der Tabelle die erste Zeile des Ergebnisbereichs und die Kopfzeile identisch. Es handelt sich ja um die gleiche Tabelle, nur mit anderen Symbolen. Allerdings sind Beobachtungen, die wir in der „neuen“ Tabelle machen, unabhängig von konkreten Eigenheiten des von uns gewählten Szenarios.

So gleichen sich nicht nur die ersten Zeilen, sondern auch die erste Spalte des Ergebnisbereichs und die vordere Spalte. Da wir aber nun nichts mehr über Steine und Identitätstransformationen wissen, kommen wir zu einem erstaunlichen Schluss: Wenn wir das Kreis-Symbol mit einem beliebigen Symbol kombinieren, egal ob an erster oder zweiter Stelle (sprich, in der ersten Spalte oder Zeile), ergibt sich in jedem Fall wieder das andere Symbol. Ohne die Interpretation der Tabellenelemente als Umordnungen von Steinen ist diese Eigenschaft eine rein abstrakte Beobachtung, frei von jeder Begründung. Wir können lediglich anerkennen, dass es sich um eine grundlegende Eigenschaft des Kreis-Symbols zu handeln scheint. Wir geben dieser Eigenschaft einen Namen: Neutralität. Wir sagen auch: „Das Kreis-Symbol ist ein neutrales Element (in dieser Tabelle)“.

Weiterhin können wir beobachten, dass in jeder Zeile und jeder Spalte des Ergebnisbereichs jedes Symbol exakt einmal vorkommt (ähnlich wie bei einem Sudoku). Für die erste Zeile und Spalte ist das leicht nachzuvollziehen, aber es trifft auch auf alle anderen zu. Allerdings ist hier die Reihenfolge der Symbole (gegenüber der ersten Zeile/Spalte) verändert. Dass tatsächlich alle Symbole in jeder Zeile und Spalte erscheinen, wird uns noch zu einem späteren Zeitpunkt in diesem Artikel beschäftigen.

Für den Moment wollen wir unsere Aufmerksamkeit aber auf ein spezielles Symbol richten, nämlich auf das neutrale Element (das Kreis-Symbol, die Identitätstransformation). Wenn es im Ergebnisbereich auftaucht, können wir das nämlich folgendermaßen interpretieren: Die zwei Symbole, die wir dazu verknüpft haben, verhalten sich in Kombination neutral. Oder im Szenario der drei Steine: Die beiden Umordnungen ergeben hintereinander ausgeführt "Nichts tun". Die zweite Umordnung hebt die erste auf, kehrt sie um. Wir nennen ein Paar solcher Symbole, die zusammen das neutrale Element ergeben, "zueinander invers". Eine Umkehrung eines Symbols bezeichnen wir als Inverses des Symbols. Die Tatsache, dass das neutrale Element in jeder Zeile und Spalte des Ergebnisbereichs auftaucht, bedeutet, dass jedes Symbol ein Inverses hat. Betrachten wir zum Beispiel das Fünfeck. Wir suchen das Fünfeck in der Kopfzeile und betrachten die darunter liegende Spalte des Ergebnisbereichs. Dort finden wir das neutrale Element (den Kreis) an vierter Stelle. Wenn wir die entsprechende Zeile nach vorne verfolgen, erkennen wir in der vorderen Spalte, dass das Karo invers zum Fünfeck ist. Mit dem Sprachbeispiel "die Symbole sind invers zueinander" haben wir bereits angedeutet, dass diese Beziehung wechselseitig ist. Und tatsächlich: Wenn wir in der Kopfzeile beim Karo starten und dieselbe Prozedur durchführen, enden wir in der vorderen Spalte beim Fünfeck. Das Fünfeck ist also auch invers zum Karo, oder anders ausgedrückt: Karo und Fünfeck sind invers zueinander.

Als weiteres Beispiel wollen wir das Dreieck betrachten. Wenn wir das Inverse des Dreiecks mit der gerade beschriebenen Methode ermitteln, erhalten wir wieder das Dreieck. Das Dreieck ist also sein eigenes Inverses. Solche Symbole nennen wir selbstinvers. Die Existenz solcher Symbole ist unproblematisch. Im Gegenteil, wenn wir wieder unser konkretes Szenario der drei Steine zurate ziehen, stellen wir fest, dass das Dreieck die Vertauschung des mittleren und rechten Steins symbolisiert. Verknüpfen wir das Dreieck mit sich selbst, tauschen wir die Steine also hin und zurück; das Ergebnis ist konsequenterweise die Identitätstransformation.

Uns fällt auf, dass die Tabelle nicht symmetrisch bezüglich der Diagonalen von oben links nach unten rechts ist. Die Reihenfolge, in der wir zwei Symbole kombinieren, spielt also eine Rolle! Wenn wir zum Beispiel zuerst das Sechseck wählen und an zweiter Stelle das Karo, so ergibt sich das Quadrat. Setzen wir hingegen das Karo an erste Stelle und das Sechseck an die zweite, erhalten wir das Dreieck. Obwohl Inverse kommutieren, gilt also kein allgemeines Kommutativgesetz (für mehr Informationen siehe auch (todo)).

Bisher haben wir nur die Verknüpfung zweier Symbole und deren Ergebnis betrachtet. Da dieses Ergebnis aber wieder eines der Tabellensymbole ist, können wir es seinerseits mit einem dritten Symbol verknüpfen. Wir haben somit einen Weg gefunden, um drei Symbole miteinander zu kombinieren.

Zum Beispiel können wir erst Viereck mit Karo verknüpfen (dabei erhalten wir das Fünfeck), und dann das Fünfeck mit dem Dreieck. Das ergibt das Fünfeck. Dabei müssen wir Acht auf die Reihenfolge geben. Wenn wir nur sagen: Wir verknüpfen Dreieck mit Karo mit Fünfeck, ist nicht klar, in welcher Reihenfolge wir die Verknüpfung ausführen. Wir könnten meinen: Zuerst verknüpfen wir Dreieck mit Karo, und das Ergebnis verknüpfen wir dann mit Fünfeck. Oder wir könnten meinen: Wir verknüpfen Dreieck mit dem Ergebnis der Verknüpfung von Karo und Fünfeck.

In beiden Fällen ergibt sich:

Beide "Rechenwege" liefern also das gleiche Endergebnis.

In dem von uns betrachteten Fall spielt es deshalb keine Rolle, welche Symbole wir zuerst zusammenfassen, bzw. wo wir die Klammern setzen:

Diese Beobachtung war nicht zufällig, sondern gilt für alle möglichen Kombinationen unserer Symbole. Ein vollständiger Beweis "zu Fuß" würde das Überprüfen von $6\cdot 6\cdot 6=216$ Dreierkombinationen erfordern, daher beschränken wir uns hier auf ein Beispiel. Du kannst weitere Kombinationen ausprobieren und wirst immer zu dem Ergebnis kommen, dass die Position der Klammern keine Rolle spielt, solange die Reihenfolge der drei Symbole selbst unverändert bleibt. Einen allgemeinen Beweis dieser Tatsache findest Du im

Wir geben dieser Eigenschaft einen Namen: Assoziativität, und sagen auch: "Die Hintereinanderausführung zweier Umordnungen / Verknüpfung zweier Symbole ist assoziativ." Assoziativität bedeutet, dass wir beim Rechnen (in Gruppen) Klammern weglassen können.

Was wir daraus lernen

Nach all diesen Beobachtungen steht aber noch eine Frage im Raum: Wozu das Ganze? Warum haben wir gerade in großer Ausführlichkeit ein als ziemlich aus der Luft gegriffen erscheinendes Szenario untersucht?

Die Antwort darauf ist überraschend: Die Umsortierung der Steine hat in gewisser Hinsicht ähnliche Eigenschaften wie die Addition ganzer Zahlen, und es gibt sowohl im Alltag als auch in der Mathematik viele weitere Beispiele für Operationen, die diese Strukturmerkmale aufweisen. Das sich daraus ergebende Konzept wird in der Mathematik als Gruppe bezeichnet. Wir sagen: "Die Umordnungen dreier Steine und deren Hintereinanderausführung bilden eine Gruppe." Gruppenstrukturen sind in der Mathematik und im Alltag allgegenwärtig. Einige Beispiele, in denen Gruppen eine entscheidende Rolle spielen, sind: Das Addieren von Vektorpfeilen in der Ebene, das Verdrehen eines Zauberwürfels, das Drehen eines Objekts in der Ebene/im Raum, die Multiplikation rationaler Zahlen, etc...

Definition der Gruppe

Vorlage:Anker

Eigenschaften von Gruppen

Lösbarkeit von Gleichungen

Man kann sich fragen, unter welchen Bedingungen eine Gleichung der Form $a⊡x=b$ mit Elementen $a,b$ einer Gruppe $G$ eine (eindeutige) Lösung $x\in G$ hat. Tatsächlich gilt: Für zwei Elemente $a,b$ einer Gruppe $(G,⊡)$ existiert immer genau ein Element $x\in G$, sodass $a⊡x=b$.

Dass dies so ist, ergibt sich aus den folgenden Umformungen: Vorlage:Einrücken

Falls also $x\in G$ eine Lösung der Gleichung $a⊡x=b$ ist, so muss gelten $x=a^{-1}⊡b$. Das heißt, die Gleichung kann höchstens eine Lösung, nämlich $x=a^{-1}⊡b$ in $G$ haben. Einsetzen ergibt, dass $x=a^{-1}⊡b$ die Gleichung löst, weil Vorlage:Einrücken.

Alternativ hätte man auch sehen können, dass man die Implikation $a⊡x=b\Rightarrow a^{-1}⊡(a⊡x)=a^{-1}⊡b$ durch Multiplikation von links mit $a$ auf beiden Seiten umkehren kann. Es gilt deswegen tatsächlich $a⊡x=b\iff a^{-1}⊡(a⊡x)=a^{-1}⊡b$, und die rechte Seite ist wegen Assoziativität von $⊡$ bzw. der Definition von inversen/ neutralen Elementen äquivalent zu $x=a^{-1}$. Das heißt, $x=a^{-1}⊡b$ ist eine, und die einzige Lösung der Gleichung $a⊡x=b$.

Wir haben nur die Eigenschaften einer Gruppe (und keine Zusatzannahmen über die Art der Gruppenstruktur) verwendet, um einen Lösungsausdruck für $x$ als Funktion von $a$ und $b$ herzuleiten. Deshalb ist in allen Gruppen die Gleichung $a⊡x=b$ eindeutig lösbar. Die eindeutige Lösbarkeit ist tatsächlich etwas Besonderes, denn es gibt einige uns bekannte Verknüpfungen, die diese Eigenschaft nicht erfüllen. Zum Beispiel gibt es keine ganze Zahl $x\in \mathbb{Z}$, sodass $2n\cdot x=1$. Das heißt, die Gleichung $2\cdot x=1$ hat keine Lösung in den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Insbesondere kann $(\mathbb{Z},\cdot )$ deshalb keine Gruppe sein. Dass die Gleichung keine Lösung hat, liegt daran, dass die $2$ kein multiplikatives Inverses in den ganzen Zahlen hat. Die Gleichung $0\cdot x=0$ ist wahr für alle rationalen Zahlen $x$, hat also in $\mathbb{Q}$ unendlich viele Lösungen. Deshalb kann $(\mathbb{Q},\cdot )$ keine Gruppe sein. Bemerke: $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ wird mit der gewöhnlichen Multiplikation zu einer Gruppe, und für rationale Zahlen $a,b\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ hat die Gleichung $a\cdot x=b$ immer genau eine Lösung in $\mathbb{Q}$, nämlich $x=\frac{b}{a}$.

Wichtig ist, dass falls $(G,⊡)$ eine Gruppe ist, die oben gemachten Umformungen immer möglich sind. Unabhängig von der konkreten Wahl für $a$ und $b$ existiert also immer genau eine Lösung $x\in G$ der Gleichung $a⊡x=b$, nämlich $x=a^{-1}⊡b$. Man kann also die Gleichung nach $x$ umstellen/auflösen.

Eine hilfreiche Anwendung davon ist der folgende Spezialfall: In Gruppen ist "kürzen" erlaubt: Für Elemente $a,x,y$ einer Gruppe $(G,⊡)$ gilt: $a⊡x=a⊡y⟹x=y$.

Ganz ähnlich (jedoch mit Anwendung von $(...⊡a^{-1})$ von rechts) können wir auch Kürzbarkeit auf der rechten Seite zeigen: $x⊡a=y⊡a⟹x=y$. Aber Vorsicht: In der Gleichung $a⊡x=y⊡a$ kann man im Allgemeinen nicht $a$ kürzen, da $a$ hier auf verschiedenen Seiten auftritt. Die Gruppen, in denen dies funktioniert, sind genau die Abelsche Gruppen, da dort $g⊡h=h⊡g$ gilt.

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Auch inverse Elemente sind eindeutig:

Potenzgesetze

Außerdem gelten die üblichen Potenzgesetze: Wenn wir $a^k:=\underset{kmal}{\underbrace{a⊡a⊡a...⊡a}}$ und $a^{-k}:=\underset{kmal}{\underbrace{a^{-1}⊡a^{-1}...⊡a^{-1}}}$ für $k\in \mathbb{N}$ definieren. Es gilt also für alle $k,l\in \mathbb{Z}$ und $a\in G$: $a^k⊡a^l=a^{k+l}$ und $(a^k{)}^l=a^{kl}$. Insbesondere ist das inverse Element von $a^{-1}$ $(a^{-1}{)}^{-1}=a^{(-1)\cdot (-1)}=a$, für alle Elemente $a\in G$. Jedes Element ist also invers zu seinem eigenen inversen Element. Diese Eigenschaft gilt allgemein in allen Gruppen, Kommutativität der Verknüpfung ist dafür nicht erforderlich. Vorlage:Todo

Aufgaben

Wir möchten unsere Konstruktion für das Produkt von Gruppen jetzt an einem expliziten Beispiel testen.

Die symmetrische Gruppe $S_n$

Für $n\in \mathbb{N}$ betrachte die Menge $\{1,...,n\}$. Eine bijektive Abbildung $\pi :\{1,...,n\}\to \{1,...,n\}$ heißt Permutation. Die Permutationen sind also genau die 1:1- Zuordnungen von Elementen aus $\{1,...,n\}$. Eine Permutation vertauscht die Zahlen aus $\{1,...,n\}$ miteinander. Für $n=2$ haben wir die Permutationen Vorlage:Einrücken und Vorlage:Einrücken

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe Wenn man zwei Permutationen miteinander verknüpft, also hintereinanderausführt, erhält man wieder eine Permutation. (Die Komposition zweier Permutationen ${\pi }_1,{\pi }_2:\{1,...,n\}\to \{1,..,n\}$ zu ${\pi }_2\circ {\pi }_1:\{1,..,n\}\to \{1,...,n\};x\mapsto {\pi }_2({\pi }_1(x)$) ist eine Abbildung von $\{1,...,n\}$ nach $\{1,...,n\}$, und bijektiv als Verkettung bijektiver Abbildungen. Etwas intuitiver ausgedrückt: Jede Vertauschung von Elementen aus $\{1,...,n\}$, die in mehreren Runden durchgeführt wird (also durch Hintereinanderausführung von mehreren Vertauschungen/Permutationen), ist auch in einem Durchgang realisierbar.

Mache Dir klar, wieso die Verkettung zweier bijektiver Abbildung wieder bijektiv ist! Wie wir gleich beweisen werden, bildet die Menge der Permutationen über $\{1,...,n\}$ mit der Komposition eine Gruppe. Sie heißt "symmetrische Gruppe" in $n$ Elementen. Die symmetrische Gruppe ist nicht kommutativ für $n>2$. Wir bezeichnen die Menge der Permutationen über $\{1,...,n\}$ von nun an mit $S_n$

• Die Verkettung ${\pi }_2\circ {\pi }_1$ von zwei Permutationen ${\pi }_1,{\pi }_2:\{1,...,n\}\to \{1,...,n\}$ ist eine bijektive Abbildung $\{1,...,n\}\to \{1,...,n\}$, also eine Permutation. Daher ist die Verknüpfung $\circ :S_n\times S_n\to S_n({\pi }_1,{\pi }_2)\mapsto {\pi }_1\circ {\pi }_2$, die zwei Permutationen miteinander verkettet, wohldefiniert.
• $\circ$ ist assoziativ

• Die Identität $id:\{1,...,n\}\to \{1,...,n\};x\mapsto x$ ist das neutrale Element, sie vertauscht keine Elemente.
• Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung von $\{1,...,n\}$ nach $\{1,...,n\}$. Jede Permutation $\pi$ hat daher eine Umkehrabbildung ${\pi }^{-1}:\{1,...,n\}\to \{1,...,n\}$, welche die Zahlen $1,...,n$ auf ihre Urbilder (unter $\pi$ zurückschickt, es gilt ${\pi }^{-1}\circ \pi =id$. Weil ${\pi }^{-1}$ eine Abbildung von $\{1,...,n\}$ nach $\{1,...,n\}$ bijektiv ist (mit Umkehrabbildung $\pi$), ist ${\pi }^{-1}$ ebenfalls eine Permutation aus $S_n$ und somit ein inverses Element zu $\pi$.

$S_n$ bildet also mit der Verknüpfung $\circ$ eine Gruppe. Man nennt $(S_n,\circ )$ die n-te symmetrische Gruppe.

Für $n>2$ ist $S_n$ nicht abelsch, denn: Für $n>2$ sind Vorlage:Einrücken

und Vorlage:Einrücken Permutationen aus $S_n$. Es gilt ${\tau }_{23}\circ {\tau }_{12}(1)={\tau }_{23}(2)=3$, aber ${\tau }_{12}\circ {\tau }_{23}(1)={\tau }_{12}(1)=2$, also ist ${\tau }_{23}\circ {\tau }_{12}\ne {\tau }_{12}\circ {\tau }_{23}$. Die Verknüpfung $\circ$ ist daher nicht kommutativ, also ist $S_n$ keine Abelsche Gruppe (für $n>2$).

Wenn Du noch mehr über die n-te symmetrische Gruppe lernen möchtest, schau Dir doch den Satz von Cayley am Ende dieses Artikels an.

Untergruppen Vorlage:Anker

Eine grundlegende Eigenschaft einer Gruppe ist ihre Abgeschlossenheit unter der Gruppenoperation. Bezogen auf die tabellarische Darstellung einer Gruppe, wie wir sie etwa in der Einleitung für die Vertauschungen dreier Steine vorgenommen haben, bedeutet dies, dass im Ergebnisbereich exakt dieselben Objekte vorkommen, wie in der ersten Zeile und Spalte. Tatsächlich kann es jedoch vorkommen, dass bereits ein Teil einer solchen Tabelle diese Forderung erfüllt, ohne dass wir den Rest der Tabelle mit einbeziehen müssen. Als Beispiel betrachten wir die ersten zwei Zeilen und Spalten des Ergebnisbereichs der Tabelle der Steinvertauschungen. Wenn wir diese isolieren, erhalten wir folgende Teiltabelle:

Sowohl in der Kopfzeile, als auch in der ersten Spalte dieser Tabelle erscheinen lediglich zwei der sechs Vertauschungen (die Identitätstransformation und das Vertauschen des mittleren mit dem rechten Stein). Die Tabelle betrachtet also alle denkbaren Verknüpfungen dieser beiden Gruppenelemente. Im Ergebnisbereich erkennen wir, dass auch hier nur diese beiden speziellen Vertauschungen auftreten. Die Teiltabelle ist also für sich bereits abgeschlossen.

Wir können diese Beobachtung auch ohne das Hilfsmittel der Tabelle formulieren. Wir sagen: Die Teilmenge $\{\text{Identitätstransformation},\text{Mitte-Rechts-Vertauschung}\}$ der Menge aller Vertauschungen dreier Steine ist abgeschlossen unter der Gruppenoperation (Verknüpfung von Vertauschungen).

Weitere Beispiele für Teilmengen von Gruppen, die für sich bereits unter der Gruppenoperation abgeschlossen sind, umfassen: Die geraden Zahlen innerhalb der ganzen Zahlen, die Viertelstunden auf der Uhr (also :00, :15, :30 und :45), Addition und Multiplikation der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen, und viele mehr.

Da wir uns in diesem Artikel aber nicht nur mit abgeschlossenen Operationen, sondern mit Gruppen beschäftigen, liegt es nahe zu fragen, ob diese Teilmengen auch die anderen Eigenschaften erfüllen, die wir von Gruppen fordern. Um diese Frage auf den Punkt zu bringen, definieren wir das Konzept der "Untergruppe":

Die Assoziativität der Verknüpfung der Untergruppe folgt direkt aus der Assoziativität der ursprünglichen Gruppe. Außerdem besitzt die Untergruppe dasselbe neutrale Element, und Elemente, die in der Untergruppe invers zueinander sind, sind dies ebenfalls in der ursprünglichen Gruppe. Deshalb sagt man oft, die Untergruppe "erbt" ihre Eigenschaften.

Beispiele

Allgemeiner gilt das Folgende. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Dieses Beispiel gibt Anlass zu folgender Verallgemeinerung:

Halbgruppen und Monoide

Nachdem wir nun die Definition der Gruppe etwas kennengelernt haben, ergibt sich vielleicht die Frage: Gibt es algebraische Objekte mit weniger Struktur als Gruppen, aber mehr Struktur als Mengen?

Die Antwort ist ja, und sie haben sogar Namen: Da diese Objekte im Vergleich zu Gruppen nur eine geringe Rolle spielen, werden wir uns hier auf ihre Definitionen beschränken.

Eine Halbgruppe $(H,⊡)$ ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung $⊡:H\times H\to H$. Abgesehen von der Assoziativität muss die Menge unter der Verknüpfung keine weiteren Eigenschaften erfüllen. Eine Halbgruppe erfüllt also genau die ersten beiden Eigenschaften aus der Definition der Gruppe. Im Allgemeinen haben Halbgruppen weder inverse noch neutrale Elemente, aber natürlich gibt es Halbgruppen die ein neutrales und/oder ein inverses Element enthalten. Insbesondere ist jede Gruppe auch eine Halbgruppe (unter der Gruppenverknüpfung). Noch eine weitere Besonderheit von Halbgruppen: Es existieren Halbgruppen mit linksneutralem oder rechtsneutralem Element, aber ohne neutrales Element. Vorlage:Todo

Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element enthält, heißt Monoid. Monoide erfüllen die ersten drei Axiome aus der Definition der Gruppe, ihnen fehlt "nur" die Existenz von Inversen.

Satz von Cayley Vorlage:Anker

Der folgende Satz zeigt, dass jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ist. Zum Beweis des Satzes benötigen wir das Konzept von strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Gruppen (also Gruppenhomomorphismen). Falls du noch nicht weißt, was das ist, kannst du diesen Satz ohne Probleme überspringen, er befindet sich aus konzeptionellen Gründen hier.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis

Exkurs: Abschwächung der Gruppenaxiome

Man kann die in unserer Definition geforderten Eigenschaften einer Gruppe etwas abschwächen, und zeigen, dass Mengen (mit inneren Verknüpfungen), die diese abgeschwächten Eigenschaften haben, bereits alle von uns geforderten Gruppeneigenschaften erfüllen. Da unsere Definition etwas leichter zu merken ist, und sich aus diesen Abschwächungen in der Anwendung nur geringe Vorteile ergeben, haben wir hier darauf verzichtet. Der Vollständigkeit halber, und um Verwirrung, die sich bei der Hinzunahme anderer Quellen ergeben könnte, zu vermeiden, möchten wir dennoch kurz darauf eingehen. Wir werden im Folgenden aber stets mit "unserer" Definition der Gruppe arbeiten, weshalb Du den folgenden Abschnitt problemlos überspringen kannst.

Sei $\mathrm{\varnothing }\ne G$ eine Menge, und $⊡$ eine innere Verknüpfung auf $G$. Ein Element $e_G\in G$ heißt rechtsneutral (bezüglich $⊡$), falls für alle $m\in G$ gilt $m⊡e_G=m$, wenn es also von rechts wie ein neutrales Element wirkt. Umgekehrt heißt ein Element linksneutral, falls $e_M⊡m=m$ für alle $m\in G$. Neutrale Elemente sind Elemente, die gleichzeitig rechts- und linksneutral sind.

Analog dazu kann man (vorausgesetzt, dass rechts- bzw. linksinverse Elemente existieren) auch von links- bzw. rechtsinversen Elementen sprechen. Ein Element $n\in N$ ist linksinvers zu einem gegebenen $m\in G$ bezüglich eines rechtsneutralen Elements $e_{G,r}$, falls $n⊡m=e_{G,r}$, wobei wir mit $e_{G,r}$ ein rechtsneutrales Element bezeichnen. $n$ wirkt damit auf $m$ von links ähnlich wie ein inverses Element. (Falls $e_{G,r}$ ein neutrales Element, also zusätzlich linksneutral ist, wirkt $n$ von links genau wie ein inverses Element auf $m$. Man kann aber auch von Linksinversen sprechen, wenn kein neutrales Element existiert, sondern nur ein Rechtsneutrales. ) Umgekehrt ist ein Element $n\in M$ rechtsinvers (bezüglich eines linksneutralen Elements $e_{G,l}\in G$, falls $m⊡n=e_{G,l}$, wobei $e_{G,l}$ ein linksneutrales Element bezeichnet.

Wenn eine innere Verknüpfung auf einer Menge $G$ assoziativ ist, so folgen sowohl aus der Existenz eines rechtsneutralen Elements und linksinverser Elemente (bezüglich diesem) als auch aus der Existenz eines linkneutralen Elements und rechtsinverser Elemente (bezüglich diesem) bereits die Gruppeneigenschaften. Existenz rechts- bzw. linksneutraler Elemente meint dabei, dass wir zu jedem Element $m\in G$ ein rechts- bzw. linksneutrales Element in $G$ finden.

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