Mathe für Nicht-Freaks: Spezielle Ableitungsregeln

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Spezialfälle der Kettenregel

Wir wollen nun noch ein paar Spezialfälle der Kettenregel aufzählen, die in der Praxis häufig vorkommen. Für die Herleitung der Ableitungen von $\exp$, $\ln$, $\sin$, $\cos$, $x\mapsto x^n$ etc. verweisen wir auf das anschließende Kapitel Beispiele für Ableitungen.

Fall: $f$ ist linear

Sind $a,b\in ℝ$ und ist $g:ℝ\to ℝ$ differenzierbar, dann ist auch $h:ℝ\to ℝ,h(x)=g(ax+b)$ differenzierbar und für $x\in ℝ$ gilt

Fall: $g$ ist Potenzfunktion

Ist $f:D\to ℝ$ differenzierbar, dann ist auch $f^n:D\to ℝ$ differenzierbar für alle $n\in \mathbb{N}$, und für $x\in D$ gilt

Fall: $g$ ist Wurzelfunktion

Ist $f:D\to {ℝ}^{+}$ differenzierbar, dann ist auch $\sqrt{f}:D\to {ℝ}^{+}$ mit $x\mapsto \sqrt{f(x)}$ differenzierbar, und für $x\in D$ gilt

Fall: $g=\exp$

Ist $f:D\to ℝ$ differenzierbar, dann ist auch $\exp \circ f:D\to ℝ$ differenzierbar, und für alle $x\in D$ gilt

Sonderfall: Ableiten von „Funktion hoch Funktion“

Ein Sonderfall der exponentiellen Ableitung ist für

gegeben. Hier ist die innere Funktion $f=f_2\cdot (\ln \circ f_1)$. Die Ableitung berechnen wir daher, indem wir beim Nachdifferenzieren auf $f$ die Produktregel anwenden.

Fall: $g=\ln$

Ist $f:D\to ℝ\setminus \{0\}$ differenzierbar, dann ist auch $\ln \circ |f|:D\to ℝ$ differenzierbar, und für alle $x\in D$ gilt

Linearkombinationen von Funktionen

Die Faktor- und Summenregel besagt, dass die Ableitung linear ist. Wenden wir diese Linearität auf $n$ Funktionen an, so folgt:

Anwendung: Herleitung von Summenformeln

Die Linearität der Ableitung können wir verwenden um neue Summenformeln aus bereits bekannten zu gewinnen. Betrachten wir als Beispiel die geometrische Summenformel für $x\in ℝ\setminus \{1\}$ und $n\in \mathbb{N}$:

Beide Seiten der Gleichung können auf $ℝ\setminus \{1\}$ als differenzierbare Funktionen $f$ bzw. $g$ aufgefasst werden:

Da $f$ ein Polynom ist, gilt für $x\in ℝ\setminus \{1\}$:

Außerdem gilt mit der Quotientenregel

Da nun $f\equiv g$, gilt auch $f^{\prime }\equiv g^{\prime }$. Also gilt für $x\in ℝ\setminus \{1\}$:

Verallgemeinerung der Produktregel

Die Produktregel $(f_1{f}_2{)}^{\prime }={f_1}^{\prime }{f}_2+f_1{f_2}^{\prime }$ lässt sich auch auf mehr als zwei differenzierbare Funktionen anwenden, indem wir zunächst mehrere Funktionen zusammenfassen, und dann die Produktregel mehrfach hintereinander anwenden. Für drei Funktionen ergibt sich

Für vier Funktionen erhalten wir analog

Wir erkennen nun ein klares Bildungsgesetz bei der Ableitung: Das Produkt der Funktionen wird aufsummiert, wobei in jedem Summand die Ableitung um eine Stelle nach „hinten rutscht“. Allgemein erhalten wir so für die Ableitung einer Produktfunktion aus $n$ Funktionen:

Logarithmische Ableitung

Die logarithmische Ableitung ist ein sehr elegantes Hilfsmittel, um die Ableitung von verschachtelten Funktionen zu berechnen. Für eine differenzierbare Funktion $f$ ohne Nullstellen ist die Logarithmische Ableitung definiert durch

Wir haben oben schon gezeigt, dass mit der Kettenregel gilt:

In der folgenden Tabelle sind einige Standardbeispiele von logarithmischen Ableitungen aufgelistet:

$f$	$\mathrm{L}(f)$	Definitionsbereich
$c\in ℝ\setminus \{0\}$	$\frac{0}{c}=0$	$ℝ$
$x^n$, $n\in \mathbb{N}$	$\frac{n{x}^{n-1}}{x^n}=\frac{n}{x}$	$ℝ\setminus \{0\}$
$\exp (x)$	$\frac{\exp (x)}{\exp (x)}=1$	$ℝ$
$\ln (x)$	$\frac{\frac{1}{x}}{\ln (x)}=\frac{1}{x\ln (x)}$	${ℝ}^{+}\setminus \{1\}$
$\sin (x)$	$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}=\cot (x)$	$ℝ\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$
$\cos (x)$	$\frac{-\sin (x)}{\cos (x)}=-\tan (x)$	$ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$
$\tan (x)$	$\frac{\frac{1}{{\cos }^2(x)}}{\tan (x)}=\frac{1}{\sin (x)\cos (x)}$	$ℝ\setminus \{k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\}$

Durch direktes Nachrechnen erhalten wir für die logarithmische Ableitung die folgenden Rechenregeln:

Mit Hilfe der Regeln können wir nun Ableitungen berechnen. Der Übergang zur logarithmischen Ableitung bringt zwar meist nicht weniger Rechenaufwand, ist aber wesentlich übersichtlicher als die Berechnung mit den üblichen Regeln, und daher weniger anfällig gegenüber Flüchtigkeitsfehlern.

Verallgemeinerte Kettenregel

Genau wie die Summen- und Produktregel, lässt sich auch die Kettenregel auf die Komposition von mehr als zwei Funktionen verallgemeinern. Für zwei differenzierbare Funktionen $f_1$ und $f_2$ lautet die Kettenregel

Wenden wir diese auf drei Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_3$ an, so erhalten wir durch zweimaliges Anwenden der Regel

Wenn wir nun genau hinsehen, erkennen wir das Bildungsgesetz: Zunächst wird die äußerste Funktion abgeleitet, und die beiden inneren in die Ableitungsfunktion eingesetzt. Anschließend wird die zweite Funktion abgeleitet, und die innerste eingesetzt, und das ganze mit der vorderen Ableitung multipliziert. Zuletzt wird noch die innerste Funktion abgeleitet und dazumultipliziert. Verallgemeinern wir dies nun auf $n$ Funktionen, so erhalten wir:

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