Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Ableitungen

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In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Beispiele von Ableitungen zusammenfassen. Mit Hilfe der Rechengesetze für die Ableitung zusammengesetzte Funktionen ebenfalls abgeleitet werden.

Tabelle wichtiger Ableitungen

In der folgenden Tabelle ist $n\in \mathbb{N}$, $q\in \mathbb{Z}$ und $\tilde{n}\in {\mathbb{N}}_0$. Außerdem definieren wir $a,b,c\in ℝ$, $a_k\in ℝ$ und $p\in {ℝ}^{+}$.

Funktionsterm	Term der Ableitungsfunktion	Definitionsbereich der Ableitung
$c$	$0$	$ℝ$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$	$ℝ$
$ax+b$	$a$	$ℝ$
$a{x}^2+bx+c$	$2ax+b$	$ℝ$
$\sum _{k=0}^{\tilde{n}}{a}_k{x}^k$	$\sum _{k=1}^{\tilde{n}}{a}_{k}k{x}^{k-1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$ℝ\setminus \{0\}$
$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$ℝ\setminus \{0\}$
$x^q$	$q{x}^{q-1}$	$\{\begin{array}{cc}ℝ& q\in {\mathbb{Z}}_0^{+}\\ ℝ\setminus \{0\}& q\in {\mathbb{Z}}^{-}\end{array}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	${ℝ}^{+}$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	${ℝ}^{+}$
$\sqrt[n]{x^q}$	$\frac{q}{n}\sqrt[n]{x^{q-n}}$	${ℝ}^{+}$
$\exp (x)=e^x$	$\exp (x)$	$ℝ$
$p^x=\exp (x\ln p)$	$\ln (p)\cdot p^x$	$ℝ$
$x^a=\exp (a\ln x)$	$a{x}^{a-1}$	$\{\begin{array}{cc}ℝ& a\ge 0\\ ℝ\setminus \{0\}& a<0\end{array}$
$\ln |x|$	$\frac{1}{x}$	$ℝ\setminus \{0\}$
${\log }_p|x|=\frac{\ln |x|}{\ln p}$	$\frac{1}{\ln (p)\cdot x}$	$ℝ\setminus \{0\}$
$\sin (x)$	$\cos (x)$	$ℝ$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$	$ℝ$
$\tan (x)=\frac{\sin x}{\cos x}$	$\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$	$ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$
$\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$	$\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}$	$ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$
$\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$	$-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$	$ℝ\setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$
$\cot (x)=\frac{\cos x}{\sin x}$	$-\frac{1}{{\sin }^2(x)}=-1-{\cot }^2(x)$	$ℝ\setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(-1,1)$
$\arccos (x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(-1,1)$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{1+x^2}$	$ℝ$
$\text{arcot}(x)$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$ℝ$
$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$\cosh (x)$	$ℝ$
$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$\sinh (x)$	$ℝ$
$\tanh (x)=\frac{\sinh x}{\cosh x}$	$\frac{1}{{\cosh }^2(x)}=1-{\tanh }^2(x)$	$ℝ$
$\mathrm{arsinh}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$	$ℝ$
$\mathrm{arcosh}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	$(1,\mathrm{\infty })$
$\mathrm{artanh}(x)$	$\frac{1}{1-x^2}$	$(-1,1)$

Beispiele zur Berechnung von Ableitungen

Nun werden wir zahlreiche Beispiele von Ableitungen aus der Tabelle von oben durchrechnen. Häufig läuft es darauf raus den Differentialquotient der Funktion, also einen Grenzwert zu lösen. Manchmal ist es aber auch sinnvoll die Rechenregeln aus dem Kapitel zuvor anzuwenden.

Konstante Funktionen

Beginnen wir mit ein paar einfachen Ableitungen:

Potenzfunktionen mit natürlichen Potenzen

Nun wenden wir uns der Ableitung von Potenzfunktionen mit natürlichen Potenzen zu. Dabei behandeln wir zunächst ein paar Spezialfälle:

Nun wenden wir uns dem allgemeinen Fall, d.h. der Ableitung von $x\mapsto x^n$ für $n\in \mathbb{N}$ zu:

Polynome und gebrochen rationale Funktionen

Mit Hilfe der Rechenregeln für Ableitungen können wir nun die Ableitungen von Polynomfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen berechnen:

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Potenzen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten könne wir bereits ableiten. Nun untersuchen wir solche mit negativen ganzzahligen Exponenten.

Für den allgemeinen Fall $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ mit $n\in \mathbb{N}$ gilt

Betrachten wir nochmal die Ableitungsregel im letzten Fall, also $f^{\prime }(\tilde{x})=-\frac{n}{{\tilde{x}}^{n-1}}=-n{\tilde{x}}^{-n-1}$ für $n\in \mathbb{N}$. Setzen wir $k=-n\in {\mathbb{Z}}^{-}$, so erhalten wir $f^{\prime }(\tilde{x})=k{\tilde{x}}^{k-1}$. Die Ableitungsregel stimmt also mit der für $x^n$ mit $n\in \mathbb{N}$ überein. Daher können wir die beiden Fälle zusammenfassen und erhalten

Wurzelfunktionen

Nun untersuchen wir die Ableitung von Wurzelfunktionen. Wir starten wieder mit dem einfachsten Fall:

Nun betrachten wir den allgemeinen Fall der $k$-ten Wurzelfunktion. Hier gilt

Dies lässt sich nun nochmal verallgemeinern

Die (verallgemeinerte) Exponentialfunktion und verallgemeinerten Potenzfunktion

In diesem Abschnitt werden wir beweisen, dass die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ist. Damit können wir dann auch die Ableitung der verallgemeinerten Exponential- und Potenzfunktion bestimmen.

Mit Hilfe der Kettenregel lassen sich daraus die Ableitungen der verallgemeinerten Exponentialfunktion $x\mapsto a^x$ für $a\in {ℝ}^{+}$ und der verallgemeinerten Potenzfunktion $x\mapsto x^r$ für $r\in ℝ$ berechnen:

Die natürliche und verallgemeinerte Logarithmusfunktion

Nun wenden wir uns der Ableitung der natürlichen und verallgemeinerten Logarithmusfunktion zu. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir direkt aus der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion folgern:

Die Ableitung lässt sich ebenfalls direkt mittels des Differentialquotienten berechnen. Wer dies probieren möchte, dem sein die ebtsprechende Übungsaufgabe empfohlen.

Mit Hilfe der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion können wir nun unmittelbar folgern

Die trigonometrischen Funktionen

Sinus

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Kosinus

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Tangens

Die Ableitungen von Sekans und Kosekans findest du in der entsprechenden Übungsaufgabe.

Die Arkus-Funktionen

Mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen wir nun die Ableitungen der Arkus-Funktionen.

Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkustangens und Arkuskotangens

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Die Hyperbolischen Funktionen

Zuletzt bestimmen wir noch die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen $\sinh$, $\cosh$ und $\tanh$:

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