Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel

Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel. Sie lautet:

Dabei ist $q$ eine beliebige reelle Zahl ungleich 1.

Geometrische Summenformel

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Geometrische Summe für q = 1

Für $q=1$ ist:

Beweis mit vollständiger Induktion

Induktionsanfang

Im Induktionsanfang muss folgende Formel für $n=0$ bewiesen werden:

Die linke Seite kannst du schreiben als:

Die rechte Seite ergibt:

Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist der Induktionsanfang für $n=0$ bewiesen.

Induktionsschritt

Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Formel bereits für ein beliebiges $n\ge 0$ gilt. Es wird nun gezeigt, dass die Formel auch für $n+1$ gilt. Da wir bereits die Formel für $n=0$ gezeigt haben, folgt so die Gültigkeit der geometrischen Summenformel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion. Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:

Wir verwenden sie zur Berechnung der ersten $n$ Glieder:

Jetzt bringen wir die Summe auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

Also ist

Dies ist aber gerade die zu beweisende Induktionsbehauptung. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die geometrische Summenformel für alle $n\ge 0$ bewiesen.

Anwendung der Geometrischen Summenformel

Die geometrische Summenformel lässt sich dazu verwenden, das für eine Rente gesparte Geld zu berechnen. Stell dir dazu vor, du würdest jedes Jahr $2000€$ für deine Rente sparen, die mit $5\mathrm{\%}$ verzinst werden. Wie viel hast du nach 10 Jahren erspart? Die ersten $2000€$, die du einzahlst, werden 10-mal verzinst, die zweiten werden 9-mal verzinst, die dritten werden 8-mal verzinst und so weiter. Damit ergibt sich der Betrag des Ersparten $E$: