Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Rolle

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Motivation

Datei:Satz von Rolle – Veranschaulichung und Erklärung.webm Wir wissen bereits vom Satz vom Minimum und Maximum, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ ein Maximum und ein Minimum annimmt:

Die Funktion f ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an

Dies gilt natürlich auch, wenn $f(a)=f(b)$ ist. In diesem Fall muss es (wenn die Funktion nicht konstant ist) ein Maximum oder ein Minimum im Inneren des Definitionsbereichs geben. In folgender Abbildung liegt sowohl das Maximum als auch das Minimum im Inneren von $[a,b]$, also im offenen Intervall $(a,b)$:

Skizze eines Spezialfalls zum Satz vom Maximum und Minimum

Nehmen wir nun zusätzlich an, dass $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar ist. Sei $\xi$ die Maximal- bzw. Minimalstelle. Wenn $\xi$ im Inneren des Definitionsbereichs liegt, wenn also $\xi \in (a,b)$ ist, dann ist $f^{\prime }(\xi )=0$ nach dem notwendigen Hauptkriterium für Extrema einer differenzierbaren Funktion. Anschaulich bedeutet dies, dass die Tangente an $f$ in $\xi$ waagrecht liegt. Genau dies besagt der Satz von Rolle: Für jede stetige Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ mit $f(a)=f(b)$, die in $(a,b)$ differenzierbar ist, gibt es ein Argument $\xi \in (a,b)$ mit $f^{\prime }(\xi )=0$.

• 
  Die Ableitung im Maximum von $f$ ist null.
• 
  Die Ableitung im Minimum von $f$ ist null.

Natürlich kann $f$ in $(a,b)$ auch mehrere (teils lokale) Maximal- und Minimalstellen annehmen. Außerdem kann es sein, dass $f$ in $(a,b)$ nur ein Maximum (und kein Minimum) oder ein Minimum (und kein Maximum) im Inneren des Definitionsbereichs annimmt:

• 
  Die Funktion $f$ besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Maximum und kein Minimum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
• 
  Die Funktion $f$ besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Minimum und kein Maximum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.

Ein Sonderfall ist der, dass $f$ konstant auf $[a,b]$ ist. In diesem Fall gilt $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in (a,b)$:

Skizze eines Spezialfalls zum Satz vom Maximum und Minimum

Egal welchen Fall wir uns angeschaut haben, immer gab es mindestens eine Stelle im Inneren des Definitionsbereichs, wo die Ableitung der Funktion gleich null ist.

Satz von Rolle

Datei:Satz von Rolle - Quatematik.webm Der nach Michel Rolle (1652-1719) benannte Satz stellt einen Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung dar und lautet wie folgt:

Zu den Prämissen des Satzes

Im Satz von Rolle gibt es mehrere notwendige Voraussetzungen. Wenn wir auch nur eine davon fallen lassen, gilt der Satz von Rolle nicht mehr.

Anwendung: Nullstellen von Funktionen

Der Satz von Rolle kann auch in Existenzbeweisen von Nullstellen eingesetzt werden. Mit diesem lässt sich nämlich zeigen, dass eine Funktion auf einem Intervall höchstens eine Nullstelle besitzt. Andererseits lässt sich mit dem Zwischenwertsatz zeigen, dass eine Funktion in einem Intervall mindestens eine Nullstelle hat. Zusammen kann so die Existenz von genau einer Nullstelle gezeigt werden.

Ausblick: Satz von Rolle und Mittelwertsatz

Wie oben schon erwähnt, ist der Satz von Rolle ein Spezialfall des Mittelwertsatzes. Dieser ist einer der wichtigsten Sätze aus Analysis 1, da aus ihm viele weitere nützliche Resultate folgen. Umgekehrt werden wir zeigen, dass der Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle folgt. Beide Sätze sind damit äquivalent.

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