Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) ist einer der bedeutendsten Sätze der Analysis. Nach ihm kann über das Integral die Gesamtänderung einer Funktion bestimmt werden, wenn ihre Ableitung überall bekannt ist. So kann beispielsweise die Veränderung eines Systems ausgerechnet werden, wenn man zu jedem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate (also die Ableitung) kennt.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt so eine Beziehung zwischen der Ableitung und dem Integral her und zeigt, dass sich Ableitung und Integration in gewisser Weise umkehren. Dies kann beispielsweise ausgenutzt werden, um Integrale leichter auszurechnen. Dabei werden zwei Versionen des Hauptsatzes unterschieden: Die eine Version trifft eine Aussage darüber, was das Integral der Ableitungsfunktion ist und die andere beschreibt, was die Ableitung der sogenannten Integralfunktion ist.

Häufig wird die Definition des Integrals aus der Grundvorstellung hergeleitet, dass es die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der $x$-Achse wiedergibt. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt, dass diese orientierte Fläche unter dem Graphen einer Ableitung als Funktionsänderung der ursprünglichen Funktion interpretiert werden kann.

Erste Variante des Hauptsatzes

Version: Integral der Ableitungsfunktion

Eine Variante des Hauptsatzes kann so formuliert werden:

Sei $F:[a,b]\to ℝ$ eine solche Funktion, die an jeder Stelle $x\in [a,b]$ die momentane Änderungsrate $f(x)$ besitzt. Da die Ableitung die momentane Änderungsrate einer Funktion beschreibt, ist also $F^{\prime }(x)=f(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Eine solche Funktion $F$ wird Stammfunktion von $f$ genannt. Die Gesamtänderung der Funktion $F$ im Intervall $[a,b]$ entspricht der Differenz $F(b)-F(a)$. Es muss also gelten:

Dies ist die erste Version des Hauptsatzes. Da wir im Beweis auf den Mittelwertsatz der Integralrechnung zurückgreifen, werden wir die Stetigkeit von $f$ zusätzlich voraussetzen:

Stammfunktion

In der ersten Variante des Hauptsatzes ist die Rede von einer Funktion $F$, deren Ableitungsfunktion gleich $f$ ist. Eine solche Funktion wird Stammfunktion von $f$ genannt:

Salopp gesprochen ist eine Stammfunktion das „Gegenteil“ der Ableitungsfunktion. Sie ist jedoch im Gegensatz zur Ableitungsfunktion nicht eindeutig. Betrachte die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=3x^2$. Eine mögliche Stammfunktion ist die Funktion $F:ℝ\to ℝ$ mit $F(x)=x^3+4$. Denn es gilt nach den Ableitungsregeln $F^{\prime }(x)=3x^2$. Es fällt auf, dass wir anstelle der Konstanten $4$ auch eine andere hätten wählen können, da diese bei der Ableitung verschwindet. Tatsächlich ist jede Funktion der Form $F(x)=x^3+C$ mit einer beliebigen Konstanten $C\in ℝ$ eine Stammfunktion von $f$.

Differenz von Stammfunktionen

Hat also eine Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$, so hat sie auch unendlich viele weitere Stammfunktionen, nämlich alle Funktionen $\tilde{F}(x)=F(x)+C$ mit einer beliebigen Konstante $C\in ℝ$. Das liegt daran, dass eine (additive) Konstante beim Ableiten wegfällt. Wir können sogar zeigen, dass man auf diese Weise alle Stammfunktionen von $f$ erhält:

Anwendung: (Re-)konstruktion der Stammfunktion

Über das Integral kann aus der Ableitung die Gesamtänderung einer Funktion berechnet werden. Damit können wir das Integral benutzen, um aus einer bekannten Ableitung die ursprüngliche Funktion zu rekonstruieren bzw. eine gesuchte Funktion zu bestimmen, deren Ableitung bekannt ist. Da wir nur Änderungen einer Funktion bestimmen können, brauchen wir noch einen Anfangswert, den die Funktion an einer festgelegten Stelle haben soll.

Nehmen wir an, dass wir eine Funktion $F:ℝ\to ℝ$ bestimmen wollen. Ihre Ableitung sei die für uns bekannte Funktion $f:ℝ\to ℝ$. Außerdem wissen wir, dass an der Stelle $a\in ℝ$ die Funktion $F$ den Wert $y_a\in ℝ$ besitzt. Es gilt also $F(a)=y_a$. Aus diesen beiden Informationen können wir mit Hilfe des Integrals die Funktion $F$ (re-)konstruieren:

Mit dieser Formel kann der Wert einer Funktion bestimmt werden, wenn man deren Ableitung und einen Anfangswert kennt.

Zweite Variante des Hauptsatzes

Version: Ableitung der Integralfunktion

In der Herleitung der Formel $F(x)=y_a+{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ haben wir angenommen, dass $f$ die Ableitung von $F$ ist. Können wir umgekehrt die Gleichung $F^{\prime }(x)=f(x)$ zeigen, wenn wir $F$ über $F(x)=y_a+{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ definieren? Hierzu müsste gelten:

Damit unsere Vermutung stimmt, müssen wir $f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t)$ beweisen. Sprich: Für eine Funktion $H:ℝ\to ℝ$ mit $H(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ muss $H^{\prime }(x)=f(x)$ gelten. Eine solche Funktion $H$ werden wir Integralfunktion nennen. Auch bei dieser neuen Version des Hauptsatzes werden wir voraussetzen, dass die Funktion $f$ stetig ist:

Integralfunktion

In der Rekonstruktion der Stammfunktion kommt eine Funktion $H$ mit $H(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ vor. Eine solche Funktion wird Integralfunktion genannt:

Zusammenhang: Integral- und Ableitungsfunktion

Die Integralfunktion ist das Pendant zur Ableitungsfunktion. Wie die Ableitungsfunktion ist es ein Funktionsoperator: Es nimmt als Argument eine Funktion $f$ an und ordnet ihr als Resultat eine neue Funktion zu, wobei die Zuordnungsvorschrift gleich $x\mapsto {\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x$ ist. Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung klären den Zusammenhang zwischen der Ableitungs- und der Integralfunktion. Zum einen ändert man eine Funktion nicht, wenn man zuerst die Integralfunktion bildet und von dieser die Ableitungsfunktion bestimmt:

Anders verhält es sich, wenn wir die Reihenfolge umkehren. Wenn man die Integralfunktion der Ableitungsfunktion bildet, dann kommt nicht zwangsweise die ursprüngliche Funktion raus. Jedoch erhalten wir so eine Funktion, die sich nur um einen konstanten Wert von $f(x)$ unterscheidet. Dieser konstante Wert ist gleich dem Funktionswert $f(a)$. Es gilt nämlich:

Dies kann so erklärt werden: Durch die Bildung der Ableitung erhält man nur die Information darüber, wie sich eine Funktion ändert. Die Information über den Anfangswert $f(a)$ geht verloren (die Ableitung einer Konstanten ist gleich Null). Wenn man von der Ableitungsfunktion die Integralfunktion bildet, kann man diese verlorene Information zum Anfangswert nicht mehr herstellen. Man weiß zwar, dass die ursprüngliche Funktion eine Stammfunktion der gebildeten Ableitungsfunktion $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)$ ist – welche es ist, weiß man aber nicht. Deswegen gibt man diejenige Stammfunktion zurück, die an der Stelle $a$ eine Nullstelle besitzt. So kann durch Addition des Wertes $f(a)$ die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt werden.

Beweis

Wir werden erst die zweite Variante des Hauptsatzes beweisen und aus dieser dann die erste Variante herleiten.

Anwendung

Mit dem Hauptsatz können bestimmte Integrale berechnet werden. Sofern eine Stammfunktion $F$ des Integranden $f$ bekannt ist, kann das Integral ${\int }_a^{b}f\mathrm{d}x$ über die Differenz $F(b)-F(a)$ bestimmt werden. In der Praxis wird häufig der Ausdruck ${[F(x)]}_a^b$ oder ${F(x)|}_a^b$ für die Differenz $F(b)-F(a)$ verwendet. Dabei spielt es keine Rolle, welche Stammfunktion gewählt wird. Da diese sich nur um eine Konstante unterscheiden, fällt diese bei der Differenz $F(b)-F(a)$ weg.

Unbestimmte Integrale

Definition des unbestimmten Integrals

Zu einer Funktion gibt es mehrere Stammfunktionen. Über das unbestimmte Integral kann die Menge aller Stammfunktionen bestimmt werden:

Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral

Es ist wichtig, dass du zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral sauber unterscheidest. Das bestimmte Integral ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ ist eine Zahl und gibt die orientierte Fläche unter den Graphen von $f$ zurück. Das unbestimmte Integral $\int f(x)\mathrm{d}x$ ist eine Menge von Funktionen, nämlich die Menge aller Stammfunktionen von $f$. Wie beide Begriffe zusammenhängen, wird im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung deutlich. Die Variante „Integral der Ableitungsfunktion“ kann folgendermaßen formuliert werden:

Auch die Version „Ableitung der Integralfunktion“ kann mit Hilfe des unbestimmten Integrals ausgedrückt werden:

Beide Aussagen gelten, wenn $f$ eine stetige Funktion ist.

Liste von unbestimmten Integralen

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hauptartikel Folgende Liste gibt eine Übersicht über die wichtigsten unbestimmten Integrale. Es gilt überall $C\in ℝ$:

• $\int x^s\mathrm{d}x=\frac{1}{s+1}{x}^{s+1}+C$ mit $s\in ℝ\setminus \{-1\}$ und $x>0$
• $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$
• $\int \sin (x)\mathrm{d}x=-\cos (x)+C$
• $\int \cos (x)\mathrm{d}x=\sin (x)+C$
• $\int \tan (x)\mathrm{d}x=-\ln (\cos (x))+C$
• $\int \exp (x)\mathrm{d}x=\exp (x)+C$
• $\int \ln (x)\mathrm{d}x=x\ln (x)-x+C$
• $\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan (x)+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin (x)+C$
• $\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arccos (x)+C$

Aufgaben

Aufgabe 4

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