Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Limes- und Nachfolgerzahlen

Satz

Für jede Ordinalzahl $x$ gilt genau eine der folgenden Aussagen:

• Es gibt eine Ordinalzahl $y$ mit $x=y\cup \{y\}$
• $x=\bigcup x$.

Bemerkung: Zahlen der ersten Art heißen Nachfolgerzahlen, Zahlen der zweiten Art (außer $\mathrm{\varnothing }$) heißen Limeszahlen.

Beweis

Verwendet werden:

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

(2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

(3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

(4) Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl

(5) Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Sei $x$ eine Ordinalzahl.

Setze $u=\bigcup x=\{z\mid \mathrm{\exists }y\in x:z\in y\}$ und $s=u\cup \{u\}$. Mit $x$ ist laut (2) und (5) auch $u$ eine Ordinalzahl und dann wegen (4) auch $s$. Gemäß (3) gilt $x\in s$ oder $s\in x$ oder $x=s$. Angenommen $x\in s$. Dann folgt entweder $x=u$ (und wir sind fertig, $x$ ist von der zweiten Art) oder $x\in u$, hieraus dann $x\in z$ für ein $z\in x$ und per Transitivität $x\in x$ im Widerspruch zu (1). Angenommen $s\in x$. Dann folgt $u\in s\subseteq \bigcup x=u$, also $u\in u$ im Widerspruch zu (1). Somit bleibt nur als dritte Möglichkeit $s=x$, d. h. $x$ ist Nachfolgerzahl.

Zu zeigen ist noch: Falls $x=y\cup \{y\}$ für eine Ordinalzahl $y$, kann nicht zugleich $x=\bigcup x$ gelten. Es genügt zu zeigen, dass $y\notin \bigcup x$. Angenommen, $y\in \bigcup x$. Dann $y\in z$ für ein $z\in x$. Wegen $x=y\cup \{y\}$ folgt $z=y$ oder $z\in y$. Es ergibt sich also sofort oder per Transitivität von $y$, dass $y\in y$ im Widerspruch zu (1). Folglich in der Tat $y\notin \bigcup x$.