Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Elemente

Satz

Elemente von Ordinalzahlen sind ihrerseits Ordinalzahlen.

Beweis

Sei $x$ Ordinalzahl und $y\in x$. Sei $u\in v\in y$. Per Transitivität von $x$ folgt $v\in x$ und dann auch $u\in x$. Weder $v$ noch $y$ können das $\in$-minimale Element von $\{u,v,y\}\subseteq x$ sein, also folgt $u\in y$. Mithin ist $y$ transitiv. Da aus $y\in x$ per Transitivität $y\subseteq x$ folgt, ist $y$ als Teilmenge einer wohlgeordneten Menge wohlgeordnet. Insgesamt ist $y$ also eine Ordinalzahl.