Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Wohlordnung

Satz

Die Klasse $\mathrm{O}\mathrm{n}$ der Ordinalzahlen ist durch $\in$ wohlgeordnet.

Beweis

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

(2) Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Zu zeigen ist:

1. Je zwei Ordinalzahlen sind vergleichbar, d.h. für Ordinalzahlen $x,y$ gilt entweder $x\in y$ oder $x=y$ oder $x\ni y$

   Seien $x,y$ zwei Ordinalzahlen. Falls $x\in y$ und $y\in x$, so wegen der Transitivität von $x$ auch $x\in x$ im Widerspruch zu (1). Falls $x\in y$ und $x=y$ bzw. $y\in x$ und $x=y$, folgt direkt ebenfalls $x\in x$, also derselbe Widerspruch. Somit können zumindest nicht mehrere der Eigenschaften $x\in y$, $x=y$, $x\ni y$ zugleich zutreffen.

   Falls $x\ne y$ folgt mit $s:=x\cap y$ aus (2), dass $x=s\in y$ oder $y=s\in x$. Somit ist die Trichotomiebedingung erfüllt.

2. Jede nichtleere Klasse $A$ von Ordinalzahlen enthält ein $\in$-minimales Element

   Da $A$ nicht leer ist, gibt es eine Ordinalzahl $x\in A$. Wenn es kein $y\in A$ mit $y\in x$ gibt, ist $x$ bereits minimal. Ansonsten ist die Menge $s=\{y\in x\mid y\in A\}$ eine nichtleere Teilmenge von $x$ und enthält folglich ein minimales Element $m$. Auch für jedes $z\in A\setminus s$ gilt $m\in x\in z$ oder $m\in x=z$, auf jeden Fall also $m\in z$. Insgesamt ist also $m$ auch minimales Element von $A$.