Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenzradius von Potenzreihen

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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{x}^k$ einen Konvergenzradius besitzt. Das ist eine reelle Zahl $R$, so dass die Potenzreihe für alle $x\in ℝ$ mit $|x|<R$ absolut konvergiert und für alle $x\in ℝ$ mit $|x|>R$ divergiert. Dabei kann auch $R=0$ und $R=\mathrm{\infty }$ gelten. Für den Grenzfall $|x|=R$ kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von Cauchy-Hadamard $R=1/\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[k]{|c_k|}$ werden wir aus dem Wurzelkriterium und die Formel von Euler $R=1/\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right|$ aus dem Quotientenkriterium herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

Definition und Existenz des Konvergenzradius

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$ oder die für alle $x\in ℝ$ mit $|x|<1$ absolut konvergiert und für alle $x\in ℝ$ mit $|x|>1$ divergiert. Es gilt also $1=\sup \{r\in ℝ\mid \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^k\text{ konvergiert absolut}\}$. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte Konvergenzradius, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem Wurzelkriterium und die zweite aus dem Quotientenkriterium herleiten.

Einstiegsbeispiel

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{=c_k}{\underbrace{\frac{2^k}{k}}}\cdot x^k$ an.

Anwendung des Wurzelkriteriums

Wir erhalten

Also konvergiert die Reihe absolut für alle $x\in ℝ$ mit $|x|<\frac{1}{2}$ und divergiert für alle $x\in ℝ$ mit $|x|>\frac{1}{2}$. Sie besitzt damit den Konvergenzradius $R=\frac{1}{2}$. Da immer $\sqrt[k]{|x{|}^k}=|x|$ gilt, kann man bei Potenzreihen $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{x}^k$ auch direkt dem Limes Superior von $\sqrt[k]{|c_k|}$ bilden. Genauer betrachtet gilt

Diese Formel heißt die Formel von Cauchy-Hadamard. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

Anwendung des Quotientenkriteriums

Hier erhalten wir

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle $x\in ℝ$ mit $|x|<\frac{1}{2}$ absolut konvergiert und für alle $x\in ℝ$ mit $|x|>\frac{1}{2}$ divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius

Diese Formel heißt die Formel von Euler. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler

Nun zeigen wir allgemein

Beispiele

Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}$ ebenfalls den Konvergenzradius $R=\mathrm{\infty }$ hat.

Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im Aufgabenteil.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius

Am Beipiel der drei Potenzreihen $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$, $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}{x}^k$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}{x}^k$ kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier $|x|=1$) sehr unterschiedlich sein kann:

• Für die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$ gilt: Sowohl für $x=-1$ also auch für $x=1$ divergieren die Reihen $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{1}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}1$ jeweils mit dem Trivialkriterium, da die Folgen $((-1{)}^k)$ und $(1)$ keine Nullfolgen sind.
• Für die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}{x}^k$ gilt: Für $x=-1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{1}{k}$ mit dem Leibniz-Kriterium, da die Folge $\left(\frac{1}{k}\right)$ eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für $x=1$ hingegen ergibt sich die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$, welche bekanntlich divergiert.
• Für die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}{x}^k$ gilt: Sowohl für $x=-1$ als auch für $x=1$ konvergiert die Reihe. Für $x=1$ ergibt sich die Reihe der reziproken Quadratzahlen $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für $x=-1$ die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{1}{k^2}$, wegen $|(-1{)}^k\frac{1}{k^2}|=\frac{1}{k^2}$ und da jede absolut konvergente Reihe konvergiert.

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius $R=1$ hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})x^k$. Für den Fall $s>0$ kann man dazu das Konvergenzkriterium von Raabe verwenden. Ebenso kann man für verschiedene Werte von $s\in ℝ$ die Konvergenz auch mit dem Majoranten- bzw. Leibniz-Kriterium bestimmen. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius $R=1$ wollen wir noch festhalten:

1. Ist $x=1$, so ergibt sich die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\cdot 1^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
2. Ist $x=-1$, so ergibt sich die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{c}_k$. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe, falls $(c_k)$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

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