Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe

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In diesem Kapitel werden wir mit der absoluten Konvergenz eine neue und stärkere Art der Konvergenz kennenlernen, welche auch bei einer beliebigen Umsortierung der Summanden ihr Konvergenzverhalten nicht ändert, was wir in einem späteren Kapitel genauer betrachten werden.

Motivation

Bei endlichen Summen ist es egal, in welcher Reihenfolge man die Summanden aufschreibt. Beispielsweise ist das Ergebnis von

dasselbe wie von

Dies gilt aufgrund der Kommutativität der Addition. Sie besagt, dass $a+b=b+a$ für alle reellen Zahlen $a,b\in ℝ$ ist. Wenn man endlich oft benachbarte Summanden vertauscht, ändert sich das Ergebnis nicht. Diese Invarianz bzw. „Unveränderlichkeit“ des Werts endlicher Summen gegenüber Summandenvertauschungen geht bei unendlichen Summen (also bei Reihen) verloren. Nehmen wir eine Reihe

Der Wert dieser Reihe kann sich durch eine Umordnung der Summanden ändern. So kann der Wert der folgenden Reihe ein anderer sein, als bei der ursprünglichen Reihe:

Bei einer Umordnung der Summanden kann eine konvergente Reihe sogar divergent werden und umgekehrt. Es stellt sich die Frage: Wann können wir die Summanden einer Reihe beliebig umordnen, ohne dass ihr Grenzwert oder gar ihr Konvergenzverhalten geändert wird? Für konvergente Reihen über reelle Zahlen kann man diese Frage leicht beantworten:

Definition

Was ist absolute Konvergenz?

Eine Reihe ist also genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert. Bei absolut konvergenten Reihen werden die Beträge ihrer Summanden so schnell klein, dass die Summe der Beträge beschränkt bleibt (und damit die Reihe konvergiert).

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert Vorlage:Anker

Absolute Konvergenz ist eine stärkere Form der Konvergenz einer Reihe. Absolut konvergente Reihen sind genau die konvergenten Reihen, deren Konvergenzverhalten immun gegen eine Umsortierung der Summanden ist. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. Dies zeigen wir im folgenden Satz:

Nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent

Wir haben gerade bewiesen, dass jede absolut konvergente Reihe eine konvergente Reihe ist. Die Umkehrung gilt aber nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren. Ein Beispiel ist die alternierende Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{1}{k}$. Diese Reihe konvergiert, was man mit dem Leibniz-Kriterium beweisen kann. Jedoch ist diese Reihe nicht absolut konvergent, da $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|(-1{)}^k\frac{1}{k}|=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$ die divergente harmonische Reihe ist. Merken wir uns also:

Charakteristisches Kriterium für absolute Konvergenz Vorlage:Anker

Nun möchten wir ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für absolute Konvergenz untersuchen. Jede Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ lässt sich in ihre positiven und negativen Reihenglieder zerlegen. Formal definieren wir dazu

und

Ist beispielsweise $a_k=(-1{)}^{k+1}\frac{1}{k^2}$, so ist

und

Es gilt $a_k=a_k^{+}+a_k^{-}$ und damit ${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}_{n\in \mathbb{N}}={(\sum _{k=1}^n(a_k^{+}+a_k^{-}))}_{n\in \mathbb{N}}$. Die Frage ist nun, wann die beiden Reihen ${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^{+}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^{-}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergieren. Dann folgt auch $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{-}$. Im folgenden Satz zeigen wir, dass die beiden Reihen genau dann konvergieren, wenn die ursprüngliche Reihe absolut konvergiert.

Vertiefung: Bedingte und unbedingte Konvergenz

Du kannst dir vorstellen, dass es in gewissen Situationen wichtig ist zu wissen, welche konvergenten Reihen durch eine Umordnung der Summanden ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert behalten und bei welchen dies nicht zwangsläufig der Fall ist. Für einige Beweise ist es notwendig, eine Reihe umzuordnen. Für solche Beweise muss man wissen, wann eine Reihe ohne Bedenken umgeordnet werden kann und wann man vorsichtig sein muss. Hierzu unterscheidet die Mathematik folgende zwei Arten der Konvergenz:

Unbedingte Konvergenz

Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn diese Reihe konvergiert und auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Bedingte Konvergenz

Eine Reihe konvergiert bedingt, wenn die Reihe konvergiert und es mindestens eine Umordnung der Reihe gibt, bei der diese Reihe divergiert oder gegen einen anderen Grenzwert konvergiert.

Für reellwertige Reihen sind die unbedingt konvergenten Reihen genau die Reihen, die absolut konvergieren. Nun wird dir vielleicht schon aufgefallen sein, dass wir bisher nur behauptet, aber noch nicht bewiesen haben, dass absolut konvergente Reihen ihr Konvergenzverhalten bei Umordnung der Summanden nicht verändern. Weil der Beweis aber recht lang ist, möchten wir ihn an dieser Stelle nicht führen.

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