Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium

In diesem Kapitel lernst du ein einfaches und nützliches Kriterium zur Divergenz einer Reihe kennen: das Trivialkriterium, welches auch Nullfolgenkriterium oder Divergenzkriterium genannt wird. Es besagt, dass jede Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, bei der $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ keine Nullfolge ist, divergieren muss. Dies kannst du auch so formulieren: Bei jeder konvergenten Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ muss zwangsweise $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=0$ sein.

Trivialkriterium

Datei:Video zum Trivialkriterium - Quatematik.webm Datei:Erklärung des Trivialkriteriums.webm Das Trivialkriterium lautet:

Beweis über Teleskopsumme

Datei:Trivialkriterium – Beweis über Teleskopsumme.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis

Beweis über Cauchy-Kriterium

Datei:Trivialkriterium – Beweis über Cauchy-Kriterium.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis

Beispielaufgabe

Datei:Beispielaufgabe trivialkriterium.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Ausblick: Verschärfung des Trivialkriteriums (Satz von Oliver)

Unter der Zusatzvoraussetzung, dass $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ monoton fallend ist, gilt sogar dass $(n{a}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge ist. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe.