Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe hat die Form $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k$. Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Außerdem kann man mit der geometrischen Reihe Konvergenzkriterien wie das Quotienten- oder das Wurzelkriterium beweisen.

Geometrische Summenformel Vorlage:Anker

Datei:Geometrische Reihe - Quatematik.webm Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Vorlage:Noprint Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:

{{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|satz_und_beweis}}

Geometrische Reihe

Datei:Geometrische Reihe (Mathe-Song) – DorFuchs.webm

Die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^k$ für $r=\frac{1}{2}$, $r=\frac{1}{3}$ oder $r=\frac{1}{4}$ konvergiert.

Wir betrachten zwei Fälle: $|q|<1\text{ und }|q|\ge 1$.

Fall $|q|<1$

Kommen wir zur geometrischen Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k$. Wir betrachten zunächst den Fall $|q|<1$ und damit $q\ne 1$, da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:

Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge ${\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${\left(q^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass ${\left(q^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$ konvergiert, wenn $|q|<1$ ist, und gegen $1$ konvergiert, wenn $q=1$ ist. Den Fall $q=1$ haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:

Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für $|q|<1$:

Fall $|q|\ge 1$

Bei $|q|\ge 1$ gilt für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$, dass $\left|q^k\right|\ge 1$. Also ist die Folge ${\left(q^k\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k$ nach dem sogenannten Trivialkriterium, das wir später noch genauer betrachten.

Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives $q$, also $q\ge 1$. So folgt für alle $k\in \mathbb{N}\text{, dass }{q}^k\ge 1$. Damit können wir die Partialsummen abschätzen: $\sum _{k=1}^n{q}^k\ge \sum _{k=1}^{n}1=n$ Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge $(n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ nach unten beschränkt. Da $(n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ divergiert, divergiert auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k$ als Folge der Partialsummen.

Zusammenfassung

Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für $|q|>1$, $q=-1$ und $q=1$ divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung $|q|\ge 1$ zusammenfassen. Für den Fall $|q|<1$ konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert $\frac{1}{1-q}$: