Mathe für Nicht-Freaks: Umordnungssatz für Reihen

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In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen es erlaubt ist, Reihen umzuordnen, ohne dass sich deren Konvergenzverhalten beziehungsweise deren Grenzwert ändert. Vorlage:Noprint Dabei werden wir uns schrittweise, beginnend bei endlichen Summen vorarbeiten. Wir untersuchen zunächst immer konkrete Beispiele, um unsere Überlegungen möglichst verständlich zu machen. Wie im Kapitel zuvor bereits erwähnt, spielt letztendlich die absolute Konvergenz die entscheidende Rolle.

Umordnung endlicher Summen

Bei endlichen Summen ist es kein Problem, die Summanden umzuordnen. Der Grund hierfür ist, dass sich das „Kommutativgesetz der Addition“ beliebig oft hintereinander anwenden lässt. Betrachten wir als konkretes Beispiel die Summe

Ordnen wir die Summe nun so um, dass auf ein positives immer zwei negative Summenglieder folgen, ergibt sich

Etwas formaler können wir dies folgendermaßen formulieren: Ist $\sigma :\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Bijektion mit

so gilt

Damit können wir für $n\in \mathbb{N}$ auf beliebige Summen $\sum _{k=1}^n{a}_k$ und beliebige Bijektionen $\sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}$ ein verallgemeinertes Kommutativgesetz formulieren:

Das Problem bei konvergenten Reihen

Definition: Umordnung einer Reihe

Bevor wir uns der Problematik bei Reihen zuwenden, wollen wir den Begriff der Umordnung einer Reihe zunächst sauber definieren:

Umordnung kann gegen anderen Grenzwert konvergieren

Es wäre natürlich gut, wenn wir das verallgemeinerte Kommutativgesetz von oben auf unendliche Reihen verallgemeinern könnten. Betrachten wir als Beispiel die alternierende harmonische Reihe

Im Kapitel zum „Leibniz-Kriterium“ werden wir zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Mit weiteren Hilfsmitteln kann man sogar zeigen, dass sie gegen $S=\ln (2)$ konvergiert.

Konvergiert jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert? Wir wählen dieselbe Umordnung wie oben: Auf jeden positiven Summanden der Reihe lassen wir zwei negative folgen:

Im Kapitel zu den „Rechenregeln für Reihen“ hatten wir gezeigt, dass sich das Konvergenzverhalten und der Grenzwert einer konvergenten Reihe nicht ändern, wenn wir Klammern setzen. Daher konvergiert die Reihe, in der wir immer drei Summanden durch Klammern zusammenfassen, gegen denselben Grenzwert:

Diese lässt sich wie folgt umformen:

Wir sehen also, dass die umgeordnete Reihe nicht gegen $S$, sondern gegen $\frac{1}{2}S$ konvergiert.

Umgeordnete Reihen können divergieren

Leider kommt es noch „schlimmer“! Wir betrachten folgendes Beispiel:

Beachte also

Umordnung von Reihen mit nichtnegativen Gliedern

Veranschaulichung an Beispiel

Bei den Beispielen von oben bestand bei den Umordnungen das Problem, dass die Reihe alternierend war. Daher konnten bei den Umordnungen so viele positive Summanden hintereinander „gepackt“ werden, dass die umgeordnete Reihe gegen einen anderen Grenzwert konvergiert bzw. sogar divergiert. Dieses Problem sollte bei Reihen mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Gliedern nicht auftreten.

Unbedingte und bedingte Konvergenz

Damit definieren wir

Den Umordnungssatz von oben können wir damit auch so formulieren:

Umordnung absolut konvergenter Reihen

Veranschaulichung an Beispiel

Die Frage ist nun, ob wir die Voraussetzungen für unseren Umordnungssatz noch verallgemeinern können. D. h. gibt es auch konvergente Reihen mit negativen Gliedern (beispielsweise alternierende), die beliebig umgeordnet werden können und dabei immer gegen denselben Grenzwert konvergieren? Die Antwort ist ja! Betrachten wir hierzu das Beispiel der alternierenden Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k^2}$. Die entscheidende Eigenschaft dieser Reihe ist, dass sie absolut konvergiert, da $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$ konvergiert. Nach dem Umordnungssatz für Reihen mit nichtnegativen Gliedern aus dem vorherigen Abschnitt konvergiert damit auch jede Umordnung $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sigma (k{)}^2}$ gegen denselben Grenzwert. Da jede absolut konvergente Reihe konvergiert, konvergiert auch jede Umordnung der ursprünglichen Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\sigma (k+1)}}{\sigma (k{)}^2}$.

Wir müssen nun nur noch zeigen, dass jede dieser Umordnungen gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe konvergiert. Dazu benutzen wir das charakteristische Kriterium für absolute Konvergenz. Dieses besagt, dass eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ genau dann absolut konvergiert, wenn die Reihen ihrer nichtnegativen Glieder $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}$ und ihrer nichtpositiven Glieder $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{-}$ konvergieren. Da jede Umordnung $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\sigma (k+1)}}{\sigma (k{)}^2}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}$ absolut konvergiert, konvergieren auch die Reihen $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}^{-}$. Weiter gilt

und

Damit folgt aber nun

Also konvergiert die umgeordnete Reihe tatsächlich gegen denselben Grenzwert.

Umordnung konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen

Einleitung und Veranschaulichung an Beispiel

Nun bleibt lediglich noch die Frage offen, ob umgekehrt eine unbedingt konvergente Reihe, d. h. eine Reihe, von der jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert, auch absolut konvergent ist. Wir überlegen uns dazu die Kontraposition dieser Aussage:

Zunächst stellen wir fest:

Diesen Satz wollen wir nun verwenden, um zu zeigen, dass es zu jeder konvergenten, jedoch nicht absolut konvergenten Reihe eine Umordnung dieser Reihe gibt, die divergiert. Dies wollen wir zunächst an unserem „Lieblingsbeispiel“, der alternierenden harmonischen Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$ demonstrieren. Wir konstruieren eine Umordnung $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}$, die gegen $\mathrm{\infty }$ divergiert. Dazu summieren wir solange positive Summanden auf, bis wir $n=1$ überschreiten. Danach summieren wir einen der negativen Summanden, und anschließend wieder genügend positive Summanden, um $n=2$ zu überschreiten. Dieses Spiel setzen wir nun beliebig fort, und erhalten so eine Umordnung, die gegen $\mathrm{\infty }$ divergiert. Auf Grund des obigen Satzes ist es auch möglich, die Umordnung beliebig „groß“ zu machen, da wir ja wissen, dass die Reihe der positiven Glieder $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k-1}$ (gegen unendlich) divergiert. Konkret lautet unsere Umordnung wie folgt:

Auf diese Weise erhalten wir zu jedem $n\in \mathbb{N}$ ein $m\in \mathbb{N}$ mit $\sum _{k=1}^m{a}_{\sigma (k)}\ge n$. Die umgeordnete Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}$ divergiert daher (gegen unendlich).

Umkehrung des Umordnungssatzes für absolut konvergente Reihen

Dieses Konzept können wir allgemein auf bedingt divergente Reihen übertragen:

Allgemeine Form des Umordnungssatzes (beide Richtungen)

Nehmen wir die beiden vorangegangenen Sätze zusammen erhalten wie die allgemeinste Form des Umordnungssatzes:

Zum Abschluss: Umordnung konvergenter Reihen gegen 42

Zum Abschluss des Kapitels zeigen wir noch, dass man eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so umordnen kann, dass sie gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert. Als Beispiel ordnen wir unser Lieblingsbeispiel, die alternierende harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$ so um, dass sie gegen $42$ konvergiert.

Wie schon im Beispiel oben benutzen wir, dass die Reihe der positiven Glieder $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k-1}$ (gegen unendlich) divergiert.

Wir starten und wählen zunächst das kleinst mögliche $m_1\in \mathbb{N}$ so, dass $\sum _{k=1}^{m_1}{a}_k^{+}=\sum _{k=1}^{m_1}\frac{1}{2k-1}\ge 42$ ist. Für unsere Umordnung $\sigma$ bedeutet dies $\sigma (k)=2k-1$ für $1\le k\le m_1$. Dann ist $\sum _{k=1}^{m_1}{a}_{\sigma (k)}\ge 42$.

Nun setzen wir $\sigma (m_1+1)=2$, d.h. $a_{\sigma (m_1+1)}=a_2=a_1^{-}=-\frac{1}{2}$, der erste negative Summand der Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$. Dann gilt $\sum _{k=1}^{m_1+1}{a}_{\sigma (k)}=\sum _{k=1}^{m_1}{a}_{\sigma (k)}-\frac{1}{2}<42$.

Anschließend wählen wir nun das kleinste $m_2\in \mathbb{N}$ mit $m_2>m_1$, so dass wieder gilt $\sum _{k=1}^{m_1+1}{a}_{\sigma (k)}+\sum _{k=m_1+1}^{m_2}{a}_k^{+}\ge 42$. Setzen wir $\sigma (k)=2(k-1)+1=2k$ für $m_1+1\le k\le m_2$, so ist $\sum _{k=1}^{m_2}{a}_{\sigma (k)}\ge 42$.

Nun setzen wir den zweiten negativen Summanden $-\frac{1}{4}=a_{\sigma (m_2+1)}$. Damit gilt erneut $\sum _{k=1}^{m_2+1}{a}_{\sigma (k)}<42$.

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}$ der alternierenden harmonischen Reihe mit

$\begin{array}{c}{a}_{\sigma (k)}=(1,\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{2m_1-1},-\frac{1}{2},\frac{1}{2m_1+1},\dots ,\frac{1}{2m_2-1},-\frac{1}{4},\frac{1}{2m_2+1},\dots ,\frac{1}{2m_k-1},-\frac{1}{2k},\frac{1}{2m_k+1},\dots )\end{array}$

Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen $42$, denn es gilt für $n\in \mathbb{N}$:

$\begin{array}{ccc}42-\frac{1}{2}& \le \stackrel{=\sum _{k=1}^{m_1+1}{a}_{\sigma (k)}}{\overbrace{\sum _{k=1}^{m_1}{a}_{\sigma (k)}-\frac{1}{2}}}& \le 42\le \sum _{k=1}^{m_1}{a}_{\sigma (k)}\le 42+\frac{1}{2m_1-1}\\ 42-\frac{1}{4}& \le \sum _{k=1}^{m_2}{a}_{\sigma (k)}-\frac{1}{4}& \le 42\le \sum _{k=1}^{m_2}{a}_{\sigma (k)}\le 42+\frac{1}{2m_2-1}\\ & ⋮& \\ 42-\frac{1}{2n}& \le \sum _{k=1}^{m_n}{a}_{\sigma (k)}-\frac{1}{2n}& \le 42\le \sum _{k=1}^{m_n}{a}_{\sigma (k)}\le 42+\frac{1}{2m_n-1}\end{array}$

Für $n\to \mathrm{\infty }$ gilt $m_n\to \mathrm{\infty }$ und daher folgt mit dem Sandwichsatz:

$\begin{array}{c}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}=42\end{array}$

Weitere Übungen zur Umordnung von Reihen befinden sich im Kapitel Aufgaben zu Reihen.

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