Formelsammlung Mathematik: Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Februar 2018, 18:10 Uhr

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Koordinatenraum

Standardbasis

	Standardbasis
In der Ebene	${\vec{e}}_{x} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{y} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$
Im Raum	${\vec{e}}_{x} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{y} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{z} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren der Standardbasis darstellen:

In der Ebene	$\vec{a} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}] = a_{x} {\vec{e}}_{x} + a_{y} {\vec{e}}_{y}$
Im Raum	$\vec{a} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] = a_{x} {\vec{e}}_{x} + a_{y} {\vec{e}}_{y} + a_{z} {\vec{e}}_{z}$

Operationen

Addition und Subtraktion

	Addition	Subtraktion
In der Ebene	$\vec{a} + \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \end{matrix}]$	$\vec{a} - \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}] - [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{x} - b_{x} \\ a_{y} - b_{y} \end{matrix}]$
Im Raum	$\vec{a} + \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{x} + b_{x} \\ a_{y} + b_{y} \\ a_{z} + b_{z} \end{matrix}]$	$\vec{a} - \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] - [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{x} - b_{x} \\ a_{y} - b_{y} \\ a_{z} - b_{z} \end{matrix}]$

Rechenregeln für $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{n}$ :

Regel	Bezeichnung
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$	Kommutativgesetz
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$	Assoziativgesetz

Eigenschaften	In Worten
$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$	Der Nullvektor ist das neutrale Element der Addition.
$\vec{a} + (- \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$	Die Addition des additiv inversen Vektors zu $\vec{b}$ ist das Gleiche wie die Subtraktion von $\vec{b}$ .
$\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0}$	Die Addition des additiv inversen Vektors ergibt den Nullvektor.

Skalarmultiplikation

	Skalarmultiplikation
In der Ebene	$r \vec{a} = r [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} r a_{x} \\ r a_{y} \end{matrix}]$
Im Raum	$r \vec{a} = r [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} r a_{x} \\ r a_{y} \\ r a_{z} \end{matrix}]$

Rechenregeln für $\vec{a}, \vec{b} \in ℝ^{n}$ und $r, s \in ℝ$ :

Regel	Bezeichnung
$r (\vec{a} + \vec{b}) = r \vec{a} + r \vec{b}$	Distributivgesetz (Additivität)
$(r + s) \vec{a} = r \vec{a} + s \vec{a}$	Distributivgesetz
$(r s) \vec{a} = r (s \vec{a})$	Assoziativgesetz

Eigenschaften	In Worten
$1 \vec{a} = \vec{a}$	Multiplikation mit eins bewirkt nichts.
$0 \vec{a} = \vec{0}$	Multiplikation mit null ergibt den Nullvektor.
$(- 1) \vec{a} = - \vec{a}$	Multiplikation mit −1 ergibt den additiv inversen Vektor, der genau in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
$2 \vec{a} = \vec{a} + \vec{a}$	Addition mit sich selbst ergibt eine Multiplikation mit einer natürlichen Zahl.
$3 \vec{a} = \vec{a} + \vec{a} + \vec{a}$
usw.

Skalarprodukt

	Skalarprodukt
In der Ebene	$⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = ⟨ [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}] ⟩ = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$
Im Raum	$⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = ⟨ [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}], [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}] ⟩ = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$

Rechenregeln für $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{n}$ und $r \in ℝ$ :

⟨ \vec{a}, \vec{b} + \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ + ⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩

,

⟨ \vec{a} + \vec{b}, \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ + ⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩

,

r ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = ⟨ r \vec{a}, \vec{b} ⟩ = ⟨ \vec{a}, r \vec{b} ⟩

,

⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = ⟨ \vec{b}, \vec{a} ⟩

.

Die folgende Eigenschaft ist definierend für das Skalarprodukt:

⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos φ . (φ = ∠ (\vec{a}, \vec{b}))

Betrag

	Betrag eines Vektors
In der Ebene	$\| \vec{a} \| : = \sqrt{⟨ \vec{a}, \vec{a} ⟩} = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$
Im Raum	$\| \vec{a} \| : = \sqrt{⟨ \vec{a}, \vec{a} ⟩} = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}$

	Einheitsvektor in Richtung von $\vec{a}$
In der Ebene	$\hat{a} : = \frac{\vec{a}}{\| \vec{a} \|} = \frac{1}{\| \vec{a} \|} (a_{x} {\vec{e}}_{x} + a_{y} {\vec{e}}_{y}) = \frac{a_{x}}{\| \vec{a} \|} {\vec{e}}_{x} + \frac{a_{y}}{\| \vec{a} \|} {\vec{e}}_{y}$
Im Raum	$\hat{a} : = \frac{\vec{a}}{\| \vec{a} \|} = \frac{1}{\| \vec{a} \|} (a_{x} {\vec{e}}_{x} + a_{y} {\vec{e}}_{y} + a_{z} {\vec{e}}_{z}) = \frac{a_{x}}{\| \vec{a} \|} {\vec{e}}_{x} + \frac{a_{y}}{\| \vec{a} \|} {\vec{e}}_{y} + \frac{a_{z}}{\| \vec{a} \|} {\vec{e}}_{z}$

Äußeres Produkt

In der Ebene
$\vec{a} \land \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}] \land [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}] = \| \begin{matrix} a_{x} & b_{x} \\ a_{y} & b_{y} \end{matrix} \| {\vec{e}}_{x} \land {\vec{e}}_{y} = (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) {\vec{e}}_{x} \land {\vec{e}}_{y}$

Im Raum
$\vec{a} \land \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] \land [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}] = \| \begin{matrix} a_{x} & b_{x} \\ a_{y} & b_{y} \end{matrix} \| {\vec{e}}_{x} \land {\vec{e}}_{y} + \| \begin{matrix} a_{x} & b_{x} \\ a_{z} & b_{z} \end{matrix} \| {\vec{e}}_{x} \land {\vec{e}}_{z} + \| \begin{matrix} a_{y} & b_{y} \\ a_{z} & b_{z} \end{matrix} \| {\vec{e}}_{y} \land {\vec{e}}_{z}$
$\vec{a} \land \vec{b} \land \vec{c} = \| \begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix} \| {\vec{e}}_{x} \land {\vec{e}}_{y} \land {\vec{e}}_{z} = (a_{x} [\begin{matrix} b_{y} & c_{y} \\ b_{z} & c_{z} \end{matrix}] - a_{y} [\begin{matrix} b_{x} & c_{x} \\ b_{z} & c_{z} \end{matrix}] + a_{z} \| \begin{matrix} b_{x} & c_{x} \\ b_{y} & c_{y} \end{matrix} \|) {\vec{e}}_{x} \land {\vec{e}}_{y} \land {\vec{e}}_{z}$

Rechenregeln für $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{n}$ und $r \in ℝ$ :

Regel	Bezeichnung
$\vec{a} \land (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \land \vec{b} + \vec{a} \land \vec{c}$	Additivität
$(\vec{a} + \vec{b}) \land \vec{c} = \vec{a} \land \vec{c} + \vec{b} \land \vec{c}$	Additivität
$r (\vec{a} \land \vec{b}) = (r \vec{a}) \land \vec{b} = \vec{a} \land (r \vec{b})$	Homogenität
$\vec{a} \land \vec{b} = - \vec{b} \land \vec{a}$	Antikommutativgesetz
$(\vec{a} \land \vec{b}) \land \vec{c} = \vec{a} \land (\vec{b} \land \vec{c})$	Assoziativgesetz

Eigenschaft
$\vec{a} \land \vec{a} = 0$
$\vec{a} \land \vec{0} = 0$

Kriterium für lineare Abhängigkeit
Für zwei Vektoren gilt: $\vec{a} \land \vec{b} = 0$ genau dann, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kollinear sind. Für drei Vektoren gilt: $\vec{a} \land \vec{b} \land \vec{c} = 0$ genau dann, wenn $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ komplanar sind. Im $ℝ^{3}$ gilt dabei: $\vec{a} \land \vec{b} \land \vec{c} = 0$ genau dann, wenn $\det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0 .$

Definition. Skalarprodukt von Bivektor-Produkten
In der Ebene	$⟨ \vec{a} \land \vec{b}, \vec{c} \land \vec{d} ⟩ : = (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) (c_{x} d_{y} - c_{y} d_{x})$
Im Raum	$⟨ \vec{a} \land \vec{b}, \vec{c} \land \vec{d} ⟩ : = (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) (c_{x} d_{y} - c_{y} d_{x}) + (a_{x} b_{z} - a_{z} b_{x}) (c_{x} d_{z} - c_{z} d_{x}) + (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) (c_{y} d_{z} - c_{z} d_{y})$
Allgemein	$⟨ \vec{a} \land \vec{b}, \vec{c} \land \vec{d} ⟩ : = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i})$

Betrag:

| \vec{a} \land \vec{b} | : = \sqrt{⟨ \vec{a} \land \vec{b}, \vec{a} \land \vec{b} ⟩} .

Für den Betrag gilt:

| \vec{a} \land \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin φ . (φ = ∠ (\vec{a}, \vec{b}))

Cauchy-Binet-Identität:

⟨ \vec{a} \land \vec{b}, \vec{c} \land \vec{d} ⟩ = ⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ ⟨ \vec{b}, \vec{d} ⟩ - ⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩ ⟨ \vec{a}, \vec{d} ⟩ .

Lagrange-Identität:

| \vec{a} \land \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩^{2} .

Im Gegensatz zum Vektorprodukt gelten die Regeln für $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \in ℝ^{n}$ , auch wenn n≠3.

Vektorprodukt

	Vektorprodukt
(In der Ebene)	$\vec{a} \times \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ 0 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} \end{matrix}]$
Im Raum	$\vec{a} \times \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}] = \| \begin{matrix} {\vec{e}}_{x} & a_{x} & b_{x} \\ {\vec{e}}_{y} & a_{y} & b_{y} \\ {\vec{e}}_{z} & a_{z} & b_{z} \end{matrix} \| = [\begin{matrix} a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} \\ a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} \\ a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} \end{matrix}]$

Rechenregeln für $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{3}$ und $r \in ℝ$ :

\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

,

(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}

,

(r \vec{a}) \times \vec{b} = r (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \vec{b})

,

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

,

\vec{a} \times \vec{a} = 0

.

Für den Betrag gilt:

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin φ . (φ = ∠ (\vec{a}, \vec{b}))

Beziehung zur Determinante:

⟨ \vec{a}, \vec{b} \times \vec{c} ⟩ = \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) .

Jacobi-Identität:

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) .

Graßmann-Identität:

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} ⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ - \vec{c} ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ .

Cauchy-Binet-Identität:

⟨ \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \times \vec{d} ⟩ = ⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ ⟨ \vec{b}, \vec{d} ⟩ - ⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩ ⟨ \vec{a}, \vec{d} ⟩ .

Lagrange-Identität:

| \vec{a} \times \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩^{2} .

Tensorprodukt

	Tensorprodukt
In der Ebene	$\vec{a} \otimes \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{x} b_{x} & a_{x} b_{y} \\ a_{y} b_{x} & a_{y} b_{y} \end{matrix}]$
Im Raum	$\vec{a} \otimes \vec{b} = [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{x} b_{x} & a_{x} b_{y} & a_{x} b_{z} \\ a_{y} b_{x} & a_{y} b_{y} & a_{y} b_{z} \\ a_{z} b_{x} & a_{z} b_{y} & a_{z} b_{z} \end{matrix}]$

Rechenregeln für $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in ℝ^{n}$ und $r \in ℝ$ :

Regel	Bezeichnung
$\vec{a} \otimes (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \otimes \vec{b} + \vec{a} \otimes \vec{c}$	Additivität (Distributivgesetz)
$(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{c} = \vec{a} \otimes \vec{c} + \vec{b} \otimes \vec{c}$	Additivität (Distributivgesetz)
$r (\vec{a} \otimes \vec{b}) = (r \vec{a}) \otimes \vec{b} = \vec{a} \otimes (r \vec{b})$	Homogenität (Assoziativgesetz)

Lineare Abbildungen

→ Matrizen

	Endomorphismus
In der Ebene	$A \vec{v} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} v_{x} + a_{12} v_{y} \\ a_{21} v_{x} + a_{22} v_{y} \end{matrix}]$
Im Raum	$A \vec{v} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} v_{x} + a_{12} v_{y} + a_{13} v_{z} \\ a_{21} v_{x} + a_{22} v_{y} + a_{23} v_{z} \\ a_{31} v_{x} + a_{32} v_{y} + a_{33} v_{z} \end{matrix}]$

Endomorphismus	Matrix	Resultat	Inverse	Eigenwerte
Identität	$E = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	$E [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$	`E`⁻¹ = `E`	+1, +1
Skalierung	$r E = [\begin{matrix} r & 0 \\ 0 & r \end{matrix}]$	$r E [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = r [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} r x \\ r y \end{matrix}]$	$(r E)^{- 1} = [\begin{matrix} 1 / r & 0 \\ 0 & 1 / r \end{matrix}]$	`r`, `r`
Skalierung der `x`-Achse	$V_{x} = [\begin{matrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	$V_{x} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} r x \\ y \end{matrix}]$	$V_{x}^{- 1} = [\begin{matrix} 1 / r & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	`r`, 1
Skalierung der `y`-Achse	$V_{y} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & r \end{matrix}]$	$V_{y} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ r y \end{matrix}]$	$V_{y}^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 / r \end{matrix}]$	`r`, 1
Spiegelung an der `x`-Achse	$S_{x} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$	$S_{x} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ - y \end{matrix}]$	$S_{x}^{- 1} = S_{x}$	±1
Spiegelung an der `y`-Achse	$S_{y} = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	$S_{y} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - x \\ y \end{matrix}]$	$S_{y}^{- 1} = S_{y}$	±1
Spiegelung an der Achse des Vektors `v`=(`a`, `b`)	$S (\vec{v}) = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} [\begin{matrix} a^{2} - b^{2} & 2 a b \\ 2 a b & b^{2} - a^{2} \end{matrix}]$	$S (\vec{v}) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} [\begin{matrix} (a^{2} - b^{2}) x + 2 a b y \\ 2 a b x - (a^{2} - b^{2}) y \end{matrix}]$	$S (\vec{v})^{- 1} = S (\vec{v})$	±1
Spiegelung am Ursprung	$S_{0} = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$	$S_{0} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - x \\ - y \end{matrix}]$	$S_{0}^{- 1} = S_{0}$	−1, −1
Projektion auf die `x`-Achse	$P_{x} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$	$P_{x} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ 0 \end{matrix}]$	nicht vorhanden	0, +1
Projektion auf die `y`-Achse	$P_{y} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	$P_{y} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ y \end{matrix}]$	nicht vorhanden	0, +1
Projektion auf die Achse des Vektors `v`=(`a`, `b`)	$P (\vec{v}) = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} [\begin{matrix} a^{2} & a b \\ a b & b^{2} \end{matrix}]$	$P (\vec{v}) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} [\begin{matrix} a^{2} x + a b y \\ a b x + b^{2} y \end{matrix}]$	nicht vorhanden	0, +1
Scherung an der `x`-Achse	$M_{x} = [\begin{matrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	$M_{x} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x + m y \\ y \end{matrix}]$	$M_{x}^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & - m \\ 0 & 1 \end{matrix}]$	+1, +1
Scherung an der `y`-Achse	$M_{y} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ m & 1 \end{matrix}]$	$M_{y} [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ m x + y \end{matrix}]$	$M_{y}^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - m & 1 \end{matrix}]$	+1, +1
Rotation um `φ` gegen den Uhrzeigersinn	$R (φ) = [\begin{matrix} \cos φ & - \sin φ \\ \sin φ & \cos φ \end{matrix}]$	$R (φ) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} (\cos φ) x - (\sin φ) y \\ (\sin φ) x + (\cos φ) y \end{matrix}]$	$R (φ)^{- 1} = R (φ)^{T} = R (- φ)$	cos(`φ`)±isin(`φ`)
Rotation um `φ` im Uhrzeigersinn	$R (- φ) = [\begin{matrix} \cos φ & \sin φ \\ - \sin φ & \cos φ \end{matrix}]$	$R (- φ) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} (\cos φ) x + (\sin φ) y \\ - (\sin φ) x + (\cos φ) y \end{matrix}]$	$R (- φ)^{- 1} = R (- φ)^{T} = R (φ)$	cos(`φ`)±isin(`φ`)
Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn	$R (\frac{π}{4}) = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$	$R (\frac{π}{4}) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}]$	$R (\frac{π}{4})^{- 1} = R (- \frac{π}{4})$	±i
Rotation um 90° im Uhrzeigersinn	$R (- \frac{π}{4}) = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}]$	$R (- \frac{π}{4}) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} y \\ - x \end{matrix}]$	$R (- \frac{π}{4})^{- 1} = R (\frac{π}{4})$	±i
Entspricht der komplexen Zahl `a`+`b`i	$Z = [\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}]$	$Z [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x - b y \\ b x + a y \end{matrix}]$	$Z^{- 1} = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} [\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}]$	`a`±`b`i
Entspricht der komplexen Zahl `r`⋅e^iφ	$Z = r [\begin{matrix} \cos φ & - \sin φ \\ \sin φ & \cos φ \end{matrix}]$	$Z [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = r R (φ) [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$	$Z^{- 1} = \frac{1}{r} R (- φ)$	`r`cos(`φ`)±i`r`sin(`φ`)
Allgemeiner Endomorphismus	$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$	$A [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix}]$	$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$	(`a`+`d`)/2± ((`a`−`d`)²/4+`bc`)^1/2

Beliebige Basisvektoren

Skalarprodukt

→ Skalarprodukte

Bei einer Darstellung der Vektoren bezüglich belibigen Basisvektoren ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$ müssen die Skalarprodukte der Basisvektoren mit in die Formel einbezogen werden. Man berechnet zunächst die Matrix:

	Metrischer Tensor
In der Ebene	$(g_{i j}) : = [\begin{matrix} ⟨ {\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{1} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2} ⟩ \\ ⟨ {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{1} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{2} ⟩ \end{matrix}]$
Im Raum	$(g_{i j}) : = [\begin{matrix} ⟨ {\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{1} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{3} ⟩ \\ ⟨ {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{1} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{2} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3} ⟩ \\ ⟨ {\vec{g}}_{3}, {\vec{g}}_{1} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{3}, {\vec{g}}_{2} ⟩ & ⟨ {\vec{g}}_{3}, {\vec{g}}_{3} ⟩ \end{matrix}]$

	Skalarprodukt
In der Ebene, $\vec{a} = a_{1} {\vec{g}}_{1} + a_{2} {\vec{g}}_{2}$ , $\vec{b} = b_{1} {\vec{g}}_{1} + b_{2} {\vec{g}}_{2}$	$⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = g_{11} a_{1} b_{1} + g_{12} a_{1} b_{2} + g_{21} a_{2} b_{1} + g_{22} a_{2} b_{2}$
Im Raum, $\vec{a} = a_{1} {\vec{g}}_{1} + a_{2} {\vec{g}}_{2} + a_{3} {\vec{g}}_{3}$ , $\vec{b} = b_{1} {\vec{g}}_{1} + b_{2} {\vec{g}}_{2} + b_{3} {\vec{g}}_{3}$	$⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} g_{i j} a_{i} b_{j}$

Formelsammlung Mathematik: Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Februar 2018, 18:10 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Koordinatenraum

Standardbasis

Operationen

Addition und Subtraktion

Skalarmultiplikation

Skalarprodukt

Betrag

Äußeres Produkt

Vektorprodukt

Tensorprodukt

Lineare Abbildungen

Beliebige Basisvektoren

Skalarprodukt

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Aktuelle Version vom 1. Februar 2018, 18:10 Uhr

Koordinatenraum

Standardbasis

Operationen

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Skalarmultiplikation

Skalarprodukt

Betrag

Äußeres Produkt

Vektorprodukt

Tensorprodukt

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