Formelsammlung Mathematik: Skalarprodukte

Eigenschaften

Es gilt:

$⟨v,v⟩\ge 0,$

$⟨v,v⟩=0⟺v=0.$

Ein Skalarprodukt $⟨v,w⟩$ induziert die Norm

$\Vert v\Vert :=\sqrt{⟨v,v⟩}.$

Winkel

In einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt wird durch die Gleichung

$⟨v,w⟩=\Vert v\Vert \cdot \Vert w\Vert \cdot \cos \phi$

der Winkel $\phi =\mathrm{\angle }(v,w)$ definiert.

Koordinatendarstellung

Sei $B=(b_1,\dots ,b_n)$ eine Basis eines reellen Vektorraums und sei

$v:={\sum }_{k=1}^n{v}^k{b}_k,w:={\sum }_{k=1}^n{w}^k{b}_k.$

Sind die Skalarprodukte

$g_{ij}:=⟨b_i,b_j⟩$

gegeben, so kann das Skalarprodukt von beliebigen Vektoren nach der Formel

(1)  $⟨v,w⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{g}_{ij}{v}^i{w}^j$

berechnet werden. Die Zahlen $g_{ij}$ lassen sich zu einer Matrix $G=(g_{ij})$ zusammenfassen. Außerdem lassen sich die Koordinaten $v^k$ und $w^k$ zu Tupeln $x:=(v^k)$ und $y:=(w^k)$ zusammenfassen. Nun kann Formel (1) in der Form

(2)  $⟨v,w⟩=⟨Gx,y⟩=⟨x,Gy⟩=x^{T}Gy,$

formuliert werden, wobei mit den rechten Skalarprodukten das Standardskalarprodukt gemeint ist. Der letzte Ausdruck der Gleichungskette ist gültig, wenn man die Koordinatentupel $x,y$ nicht als Elemente von ${ℝ}^n$ betrachtet, sondern als Spaltenvektoren, d. h. als Elemente aus ${ℝ}^{n\times 1}$.

Die Matrix $G$ ist immer symmetrisch und positiv definit, d. h. es gilt:

• $g_{ij}=g_{ji}$,
• ist $\lambda$ ein Eigenwert von $G$, so gilt $\lambda >0$.

Ist umgekehrt $G$ eine positiv definite symmetrische Matrix, so ist

$f(x,y):=⟨Gx,y⟩,f:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$

ein Skalarprodukt.

Ein Skalarprodukt lässt sich auch als konstanter metrischer Tensor interpretieren, und dann ist $g_{ij}$ die Koordinatendarstellung dieses Tensors. Das heißt: für

$g:=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{g}_{ij}{b}^i\otimes b^j$

gilt:

$⟨v,w⟩=g(v,w).$

Berechnet wird $g(v,w)$ durch Tensormultiplikation und anschließender Tensorkontraktion mit dualer Paarung $b^i(b_j)={\delta }_{ij}$, was aber wieder in Formel (1) bzw. (2) resultiert.

Wichtig ist, dass Koordinatendarstellungen immer nur bezüglich einer bestimmten Basis gültig sind und beim Basiswechsel umgerechnet werden müssen.

Orthogonalbasen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Sei $B$ eine Orthogonalbasis und sei

$v:={\sum }_{k=1}^n{v}_k{b}_k,w:={\sum }_{k=1}^n{w}_k{b}_k.$

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthogonalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt	Komplexes Skalarprodukt
$⟨v,w⟩=\sum _{k=1}^n⟨b_k,b_k⟩v_k{w}_k$	$⟨v,w⟩=\sum _{k=1}^n⟨b_k,b_k⟩\overline{v_k}{w}_k$

Außerdem gilt:

$v_k=\frac{⟨b_k,v⟩}{⟨b_k,b_k⟩}.$

Für die Norm gilt:

$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{k=1}^n\Vert b_k{\Vert }^2|v_k{|}^2.$

Orthonormalbasen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Sei $B=(e_1,\dots ,e_n)$ eine Orthonormalbasis und sei

$v:={\sum }_{k=1}^n{v}_k{e}_k,w:={\sum }_{k=1}^n{w}_k{e}_k.$

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt	Komplexes Skalarprodukt
$⟨v,w⟩=\sum _{k=1}^n{v}_k{w}_k$	$⟨v,w⟩=\sum _{k=1}^n\overline{v_k}{w}_k$

Außerdem gilt:

$v_k=⟨e_k,v⟩.$

Für die Norm gilt:

$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{k=1}^n|v_k{|}^2.$

Gram-Schmidt-Verfahren

Für linear unabhängige Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ wird durch

$w_k:=v_k-\sum _{i=1}^{k-1}P[w_i](v_k)$

ein Orthogonalsystem $w_1,\dots ,w_n$ berechnet.

Speziell für zwei nicht kollineare Vektoren $v_1,v_2$ gilt:

$w_1:=v_1,$

$w_2:=v_2-P[w_1](v_2).$