Formelsammlung Mathematik: Matrizen

Grundlagen

Multiplikation

Sei $C=AB$ das Produkt der Matrizen $A$ vom Typ $(m,n)$ und $B$ vom Typ $(n,p)$. Das Produkt ist vom Typ $(m,p)$ und wird definiert durch

$c_{ij}:=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}.$

• die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ
• $(AB)C=A(BC)$ (Assoziativgesetz)
• $C(A+B)=CA+CB$ (Rechts-Distributivgesetz)
• $(A+B)C=AC+BC$ (Links-Distributivgesetz)

Sei $r$ ein Skalar. Sei $E$ die Einheitsmatrix.

• $rA=Ar$
• $r(AB)=(rA)B=A(rB)$
• $AE=EA=A$

Determinanten

Seien $A,B$ vom Typ $(n,n)$.

• $\det (rA)=r^n\det (A)$
• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• $\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$

Inverse Matrix

• $A^{-1}A=A{A}^{-1}=E$
• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Transponierte Matrix

• $(a_{ij}{)}^T:=(a_{ji})$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
• $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
• $(rA{)}^T=r{A}^T$
• $\det (A^T)=\det (A)$

Adjungierte Matrix

• $(a_{ij}{)}^H:=({\bar{a}}_{ji})$
• $(A+B{)}^H=A^H+B^H$
• $(AB{)}^H=B^H{A}^H$
• $(A^{-1}{)}^H=(A^H{)}^{-1}$
• $(rA{)}^H=\bar{r}{A}^H$
• $\det (A^H)=\overline{\det (A)}$

Konjugation

• $\bar{A}:=({\bar{a}}_{ij})$
• $\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$
• $\overline{AB}=(\bar{A})(\bar{B})$
• $\det (\bar{A})=\overline{\det (A)}$
• $A^H=(\bar{A}{)}^T=\overline{(A^T)}$

Rotationsmatrizen

• $R^{T}R=R{R}^T=E$
• $R^{-1}=R^T$
• $\det (R)=1$

Sei $R(\phi ):=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right].$ Der Vektor $v$ wird mit $R$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Der neue Vektor $v^{\prime }$ ist gegeben durch $v^{\prime }=Rv$.

Diagonale Matrizen

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,d_2):=\left[\begin{array}{cc}{d}_1& 0\\ 0& d_2\end{array}\right]$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,d_2,d_3):=\left[\begin{array}{ccc}{d}_1& 0& 0\\ 0& d_2& 0\\ 0& 0& d_3\end{array}\right]$

usw.

• $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,\dots ,d_n{)}^{-1}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1^{-1},\dots ,d_n^{-1})$
• $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,\dots ,d_n{)}^r=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1^r,\dots ,d_n^r)$

Streichungsmatrizen

Sei $[A{]}_{ij}$ die Matrix, welche sich ergibt, wenn man von der Matrix $A$ die Zeile $i$ und die Spalte $j$ entfernt. Diese Matrix wird als Streichungsmatrix bezeichnet.

Die Zahlen $M_{ij}:=\det ([A{]}_{ij})$ werden als Minoren der Matrix $A$ bezeichnet.

Die Kofaktoren von $A$ sind definiert durch

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A,i,j):=(-1{)}^{i+j}\det ([A{]}_{ij}).$

Die Matrix $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A)=(c_{ij})$ mit $c_{ij}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A,i,j)$ wird als Kofaktormatrix der Matrix $A$ bezeichnet.

Die Adjunkte von $A$ ist definiert durch

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A):=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A{)}^T.$

Es gilt

$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A).$

Laplacescher Entwicklungssatz:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)=\sum _{k=1}^n{a}_{kj}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A,k,j)$,

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(A,i,k)$.

Lineare Abbildungen

Darstellungsmatrix

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Die Abbildung

$M_B^A:\mathrm{Hom}(V,W)\to K^{m\times n},f\mapsto M_B^A(f)$

ist ein Isomorphismus zwischen $K$-Vektorräumen.

Somit gilt:

1. $M_B^A(f+g)=M_B^A(f)+M_B^A(g).$
2. $M_B^A(\lambda f)=\lambda M_B^A(f).(\lambda \in K)$
3. Zu jeder linearen Abbildung gehört genau eine Darstellungsmatrix.
4. Zu jeder Darstellungsmatrix gehört genau eine lineare Abbildung.
5. Die Vektorräume $\mathrm{Hom}(V,W)$ und $K^{m\times n}$ sind isomorph.
6. Die Vektorräume $\mathrm{Hom}(K^n,K^m)$ und $K^{m\times n}$ sind isomorph.
7. $m=\dim (W)$ ist die Anzahl der Zeilen.
8. $n=\dim (V)$ ist die Anzahl der Spalten.

Transformationsmatrix

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Eine Transformationsmatrix ist immer invertierbar und es gilt:

$T_{B^{\prime }}^B=(T_B^{B^{\prime }}{)}^{-1}.$

Werden die Basen $B$ und $B^{\prime }$ durch Basismatrizen dargestellt, so gilt:

$T_{B^{\prime }}^B=(B^{\prime }{)}^{-1}B.$

Kürzungsregel:

$T_{B^{″}}^{B^{\prime }}{T}_{B^{\prime }}^B=T_{B^{″}}^B.$

Basiswechsel

Seien $B$ und $B^{\prime }$ Basen von $V$ und $v\in V$ ein Vektor. Ist $v_B$ die Koordinatendarstellung von $v$ bezüglich $B$, so gilt:

$v_{B^{\prime }}=T_{B^{\prime }}^B{v}_B.$

Ist $f:V\to V$ ein Endomorphismus, so gilt:

$M_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)=T_{B^{\prime }}^B{M}_B^B(f)T_B^{B^{\prime }}.$

Seien $A,A^{\prime }$ Basen von $V$ und $B,B^{\prime }$ Basen von $W$. Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung, so gilt:

$M_{B^{\prime }}^{A^{\prime }}(f)=T_{B^{\prime }}^B{M}_B^A(f)T_{A^{\prime }}^A.$