Statistik: Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung

χ²-Verteilung

Beispiel

Wir haben 3 normalverteilte, paarweise stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X₁, X₂ und X₃ gegeben mit den Erwartungswerten μ₁, μ₂ μ₃ und den Varianzen σ₁², σ₂²,σ₃². Wir standardisieren diese Variablen und erhalten 3 standardnormalverteilte Zufallsvariablen Z₁, Z₂ und Z₃,

$Z_1=\frac{X_1-{\mu }_1}{{\sigma }_1},Z_2=\frac{X_2-{\mu }_2}{{\sigma }_2},Z_3=\frac{X_3-{\mu }_3}{{\sigma }_3}.$

Dichtefunktion der χ²-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden

Nun werden die standardnormalverteilten Zufallsvariablen quadriert und aufsummiert. Wir erhalten eine neue Zufallsvariable

$Y=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2.$

Y ist χ²-verteilt mit 3 Freiheitsgraden.

Allgemein

Es gilt: Die Summe von m quadrierten, stochastisch unabhängigen, standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist χ²-verteilt mit m Freiheitsgraden.

Man sieht anhand der Grafik, dass sich die Dichtefunktion mit wachsenden Freiheitsgraden einer symmetrischen Kurve nähert.

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(Y ≤ a) = f_Y(a|n). Das p-Quantil ist χ²(p;n).

Die Verteilungsfunktion der χ²-Verteilung kann nicht analytisch ermittelt werden. Numerische Berechnungen können beispielsweise aus Tabellenwerken, etwa Tabelle der χ²-Verteilung ersehen werden. Da Y für jeden Freiheitsgrad eine eigene Verteilung besitzt, sind in kleineren Tabellen wie oben nur Quantile nach Freiheitsgraden und ausgewählten Wahrscheinlichkeiten aufgeführt. Es ist z. B. das 95%-Quantil (Spalte) der χ²-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden (Zeile)

f_Y(0,95;3) = 7,81. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit P(y ≤ 7,81) = 0,95.

Gilt n > 30, ist

$Z=\sqrt{2X}-\sqrt{2n-1}$

näherungsweise standardnormalverteilt.

Nähere Erläuterungen zur χ²-Verteilung, beispielsweise ihre Dichtefunktion, findet man bei Wikipedia. Da die Dichtefunktion jedoch nicht für die Berechnung der Verteilungswerte unmittelbar verwendet werden kann, wird sie hier nicht angeführt.

Beispiele:

Sei Y χ²-verteilt mit 10 Freiheitsgraden. Es ist

• $P(Y\le 15,99)=0,9$
• $P(Y>3,94)=1-P(Y\le 3,94)=1-0,05=0,95$
• $P(3,25\le Y\le 20,48)=P(Y\le 20,48)-P(Y\le 3,25)=0,975-0,025=0,95$
• 10%-Quantil von Y : ${\chi }^2(0,1;10)=4,87$
• 95%-Quantil von Y : ${\chi }^2(0,95;10)=18,31$

Sei Y χ²-verteilt mit 61 Freiheitsgraden. Gesucht ist $P(Y\le 98)$. Hier ist die Zahl der Freiheitsgrade k > 30. Es wird eine neue Zufallsvariable $X=\sqrt{2Y}$ gebildet. X ist näherungsweise normalverteilt wie $N(\sqrt{2k-1};1)=N(11;1)$. $P(Y\le 98)$ entspricht also $P(X\le \sqrt{2\cdot 98})=P(X\le 14)$

Es ist ${\mathrm{\Phi }}_X(14|11;1)=$ ${\mathrm{\Phi }}_X\left(\frac{14-11}{1}\right)={\mathrm{\Phi }}_X(3)=0,9987.$

Bemerkung

Die χ²-Verteilung ist reproduktiv, d. h. die Summe von zwei stochastisch unabhängigen χ²-verteilten Zufallsvariablen mit m und n Freiheitsgraden ist wieder χ²-verteilt mit m+n Freiheitsgraden.

Die χ²-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung.

Übung

1. Die Zufallsvariable X ist χ²-verteilt mit 12 Freiheitsgraden.
   1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 6,30 ist.
   2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 18,55 beträgt.
   3. Bestimmen Sie das 5%-Quantil der Verteilung.
2. Die Zufallsvariable Y ist χ²-verteilt mit 40 Freiheitsgraden.
   1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Y kleiner als 40 ist.
   2. Bestimmen Sie das 95%-Quantil der Verteilung.
3. Es sei U=X+Y.
   1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von U.
   2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U kleiner als 40 ist.

Vorlage:Anker

F-Verteilung

Dichtefunktion der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden

Beispiel

Wir haben die drei standardnormalverteilten Zufallsvariablen von oben und vier weitere Z₄, Z₅, Z₆ und Z₇ gegeben. Alle Variablen sind wieder stochastisch unabhängig. Der Quotient

$F=\frac{\frac{Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2}{3}}{\frac{Z_4^2+Z_5^2+Z_6^2+Z_7^2}{4}}$

ist dann F-verteilt mit 3 und 4 Freiheitsgraden.

Allgemein

Der Quotient aus zwei χ²-verteilten Zufallsvariablen, jeweils geteilt durch ihre Freiheitsgrade, wobei die Zufallsvariable im Zähler m und die im Nenner n Freiheitsgrade hat, ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden. Einzelheiten dazu gibt es auch in der Wikipedia. Man schreibt

$F\sim F_{m;n}$

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(F ≤ a) = f_F(a|m;n). Das p-Quantil ist F(p;m;n).

Auch die F-Verteilung liegt tabelliert vor und ist meistens nach ausgewählten Freiheitsgraden und Quantilen tabelliert. Eine nützliche Beziehung ist dabei

$F(p;m;n)=\frac{1}{F(1-p;n;m)}.$

Die F-verteilung ist ebenfalls eine Stichprobenverteilung. Sie ist aber nicht reproduktiv.

t-Verteilung

Beispiel

Gegeben sind die standardnormalverteilten Zufallsvariablen von oben.

Der Quotient

$t=\frac{Z_1}{\sqrt{\frac{Z_2^2+Z_3^2+Z_4^2+Z_5^2}{4}}}$

ist t-verteilt mit 4 Freiheitsgraden.

Allgemein

Der Quotient aus einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen und der Wurzel einer χ²-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden, geteilt durch ihre Freiheitsgrade, ist t-verteilt mit n Freiheitsgraden.

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(t ≤ a) = f_t(a|n). Das p-Quantil ist t(p;n).

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist, ähnlich wie die der Standardnormalverteilung, symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes 0. Es gilt daher für die Berechnung der Verteilungswerte:

$P(t\le -a)=P(t\ge a),$

mit

a ∈ R.

Auch die t-Verteilung ist meistens nach Freiheitsgraden und ausgewählten Quantilen tabelliert: t-Verteilung

Für n > 30 kann man die Wahrscheinlichkeiten der t-Verteilung approximativ mit der Normalverteilung berechnen:

$t(p;n)\approx z(p).$

Bemerkungen:

• Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen ist F-verteilt.
• Die t-Verteilung ist eine Stichprobenverteilung
• Weitere Eigenschaften können in der Wikipedia nachgelesen werden.

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