Statistik: Lineare Funktionen der Normalverteilung

Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen

Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen X_i (i = 1, ... , n), mit X_i ∼ N(μ_i;σ_i²). Die Linearkombination (lineare Funktion)

$Y=a_0+a_1{X}_1+a_2{X}_2+...+a_n{X}_n=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i$

ist ebenfalls normalverteilt (Reproduktivität der Normalverteilung), und zwar mit dem Erwartungswert

$EY=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_{i}E{X}_i=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i$

und, falls die X_i (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

$\mathrm{var}Y=\sum _{i=1}^n{a}_i^2\mathrm{var}{X}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2$ .

Da die Varianz jedoch echt größer Null sein muss, muss zudem $a_j\ne 0$ für mindestens ein $j\in \{1,\dots ,n\}$ gefordert werden.

Verteilung des Stichprobendurchschnitts

Sind speziell die n Zufallsvariablen X_i (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt mit gleichem μ und gleichem σ², ist die Linearkombination X mit a₀ = 0, a₁ = a₂ = ... = a_n = 1/n, also

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$

normalverteilt dem Erwartungswert

$E\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mu =\mu$

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

$\mathrm{var}\overline{X}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$ .

Beispiel

Die Firma Ziemlich&Unbekannt produziert die Güter Ix und Ypsi. Die monatliche Produktionsmenge schwankt zufällig, so dass für die produzierten Mengen die Zufallsvariablen definiert werden: X und Y [ME]. Man weiß:

X ∼ N(20;5) und Y ∼ N(100;10).

Es wird vermutet, dass X und Y stochastisch unabhängig sind.

Wir interessieren uns für die monatlichen Gesamtkosten K in Crœtos (C):

Die monatlichen Fixkosten betragen a = 10.000 C, die variablen Kosten für X: b = 500 C und für Y: c = 200 C.

Die monatlichen Gesamtkosten können also dargestellt werden als

K = a + bX + cY = 10000 + 500X + 200Y.

Wie ist also K verteilt? Wegen der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung müsste K wieder normalverteilt sein. Seine Parameter sind

EK = a + b EX + c EY = 10.000 + 500·20 + 200·100 = 40.000

und

varK = b²varX + c²varY = 500²·5 + 200²·10 = 1.650.000.

Also ist K ∼ N(40.000; 1.650.000).

Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstehen der Firma Gesamtkosten von mindestens 42.000 C?

Es ergibt sich

$\begin{array}{ccccc}P(K\ge 42000)& =& 1-P(K\le 42000)& =& 1-{\mathrm{\Phi }}_z(\frac{42000-40000}{\sqrt{1650000}})\\ & =& 1-{\mathrm{\Phi }}_z(1,57)& =& 1-0,9418=0,0582.\end{array}$

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