Plattenbeulen/ zweites Rechenbeispiel/ DINS

Geometrie

Es wird die gleiche Geometrie verwendet. Für den Druckflansch muss ein b/t-Nachweis geführt werden. Grenz b/t

$\frac{b}{t}<12,9\frac{b}{t}=\frac{0,53-0,009}{2\cdot 0,017}$

$15,32<12,9$

Beulnachweis erforderlich

kσ= 0,43

${\bar{\lambda }}_p=\frac{b_f/2-t_w/2}{t_{f2}\cdot 28,12176\cdot ϵ\cdot \sqrt{k_{\sigma }}}$(Hergeleitete Formel 1)

${\bar{\lambda }}_p=\frac{0,53/2-0,0045}{0,017\cdot 28,12176\cdot ϵ\cdot \sqrt{0,43}}$

${\bar{\lambda }}_p=0,831$

${\kappa }_p=\frac{1}{{\bar{\lambda }}_{p^2}-0,51}=\frac{1}{0,831^2-0,51}$(DIN 18800-3 Tabelle 1)

κ_p= 0,83998

b_f:= b_f ∙ κ_p = 0,53∙0,83998

b_f:= 0,4452

Mit der verkürzten Länge des Druckflansches wird gerechnet. Der Druckflansch in der DIN ist kürzer als im Eurocode.

Bruttoquerschnittswerte

A_s= b_f2∙t_f2 + h_w∙t_w + b_f1∙t_f1

A_s= 0,37∙0,011 + 0,009∙2,9 + 0,4452∙0,017

A_s= 0,03774m²

Der Schwerpunkt h_s wird vom unteren Stegende aus nach oben gemessen.

$h_s=\frac{b_{f2}\cdot t_{f2}\cdot (h_w+0,5\cdot t_{f2})+0,5\cdot h_w^2\cdot t_w-0,5\cdot b_{f1}\cdot t_{f1}^2}{A}$

$h_s=\frac{0,37\cdot 0,011\cdot (2,9+0,5\cdot 0,011)+0,5\cdot 2,9^2\cdot 0,009-0,4452\cdot 0,017^2/2}{0,03774}$

$h_s=\frac{0,01183+0,0378-6,43\cdot 10^{-5}}{0,03774}$

h_s =1,3145m

Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen

$I=\sum \left(\begin{array}{c}3Eigen\\ b_{f1}\cdot t_{f1}\cdot (h_s+0,5\cdot t_{f1}{)}^2\\ b_{f2}\cdot t_{f2}\cdot (h_w-h_s+0,5\cdot t_{f2}{)}^2\\ h_w\cdot t_w\cdot (0,5\cdot t_w-h_s{)}^2\end{array}\right)$

$I=\sum \left(\begin{array}{c}0,01823\\ 0,4452\cdot 0,017\cdot (1,3145+0,5\cdot 0,017{)}^2\\ 0,37\cdot 0,011\cdot (2,9-1,2874+0,017\cdot 0,5{)}^2\\ 2,9\cdot 0,009\cdot (0,5\cdot 2,9-1,3145{)}^2\end{array}\right)$

I= 10-3∙(18,29 + 13,24 + 10,3 + 0,48)

I= 0,04232m⁴

Spannung σ₂ im oberen Stegende

${\sigma }_2=\frac{-M\cdot z}{I}+\frac{N}{A}$

${\sigma }_2=\frac{-7,541\cdot (2,9-1,314)}{0,04232}+\frac{0}{0,03853}$

σ₂= 282,53 - 0

σ₂= 282,53N/mm²

Spannung σ₁ im unteren Stegende

${\sigma }_2=\frac{-7,541\cdot (1,314)}{0,04232}$

σ₁= - 234,23N/mm²

Spannungsnulllinie S

$S=h_w\cdot (1-\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_2-{\sigma }_1})=2,9\cdot (1-\frac{282,53}{282,53+234,23})$

S= 1,3145m

Spannung σ_sl in der Steife

${\sigma }_{sl}=\frac{-M\cdot z}{I}+\frac{N}{A}=\frac{-M\cdot (S-h_{w1})}{I}+\frac{N}{A}$

${\sigma }_{sl}=\frac{-7,541,325\cdot (1,3145-0,4)}{0,04232}$

σ_sl= - 162,96N/mm²

Berechnung von κ_px

Der Beulnachweis wird zuerst für beide Einzelfelder geführt.

b= hw1 - tsl/2	b= MIN(S;hw) - hw1 - tsl/2
b= 0,4 - 0,004	b= 1,3145 - 0,4 - 0,004
b= 0,396m	b= 0,9105m
Randspannungsverhältnis ψ
$\mathrm{\Psi }=\frac{{\sigma }_{sl}}{{\sigma }_1}=-\frac{163}{-234}$	$\mathrm{\Psi }=\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_{sl}}=\frac{283}{-163}$
ψ= 0,695	ψ = - 1,734
Beulwert kσ Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1
$k_{\sigma }=\frac{8,2}{1,05+\mathrm{\Psi }}=\frac{8,2}{1,05+0,695}$	kσ=5,98∙(1 - ψ)² kσ=5,98∙(1 + 1,734)²
kσ= 4,697	kσ= 44,69
Beulschlankheitsgrad ${\bar{\lambda }}_p$ (hergeleitete Formel 1)
${\bar{\lambda }}_p=\frac{b}{t_w\cdot 28,12176\cdot ϵ\cdot \sqrt{k_{\sigma }}}$	${\bar{\lambda }}_p=\frac{b}{t_w\cdot 28,12176\cdot ϵ\cdot \sqrt{k_{\sigma }}}$
${\bar{\lambda }}_p=\frac{0,396}{0,009\cdot 28,12176\cdot 1\cdot \sqrt{4,697}}$	${\bar{\lambda }}_p=\frac{0,8834}{0,009\cdot 28,12176\cdot 1\cdot \sqrt{44,69}}$
${\bar{\lambda }}_p=0,722$	${\bar{\lambda }}_p=0,538$
Abminderungsfaktor ρ (DIN 18800-2 Gleichung 81 Tabelle 27)
${\kappa }_k=\frac{(0,97+0,03\cdot \mathrm{\Psi })-(0,16+0,06\cdot \mathrm{\Psi })/\bar{\lambda }}{\bar{\lambda }}$
${\kappa }_k=\frac{(0,97+0,03\cdot 0,695)-0,2/0,722}{0,722}$	da ${\bar{\lambda }}_p$< 0,673 = >
κk= 0,9855	κk = 1

Bruttobreiten
Nach der DIN wird ähnlich vorgegangen, wie nach dem Eurocode. Zuerst werden die Bruttobreiten berechnet, daraus dann die wirksamen Breiten und zum Schluss die wirksamen Dicken. In der DIN ist keine Begrenzung für ψ angegeben. Da es logisch erscheint, wird für negative ψ wie im Eurocode ψ=0 gesetzt.

k1= - 0,04∙ψ² + 0,12∙ψ + 0,42 (unten)	k1= - 0,04∙ψ² + 0,12∙ψ + 0,42 (unten)
k1= - 0,04∙0,695² + 0,12∙0,695 + 0,42	k1= - 0,04∙0² + 0,12∙0 + 0,42
k1= 0,484	k1= 0,42
k2= + 0,04∙ψ² - 0,12∙ψ + 0,58 (oben)	k2= + 0,04∙ψ² - 0,12∙ψ + 0,58 (oben)
k2= + 0,04∙0,695² - 0,12∙0,695 + 0,58	k2= + 0,04∙0² - 0,12∙0 + 0,58
k2= 0,516	k2= 0,58
b12= b∙k12
bo= 0,396∙k1= 0,396∙0,516	bo= 0, 9104∙k1= 0, 9104∙0,58
bo= 0,2043	bo= 0,5281
bu= 0,396∙k2= 0,396∙0,484	bu= 0, 9104∙k2= 0, 9104∙0,42
bu= 0,1917	bu= 0,3824
wirksame Breiten
bu1,eff= bu∙ρ = 0,1917∙0,9855	bu2,eff= bu∙ρ = 0,3824∙1
bu1,eff= 0,1889	bu2,eff= 0,3824
bo1,eff= bo∙ρ = 0,2043∙0,9855	bo2,eff= bo∙ρ = 0,5281∙1
bo1,eff = 0,2013	bo2,eff = 0,528
Σbeff = 0,2013 + 0,1889	Σbeff = 0,5281 + 3824
Σbeff = 0,3902	Σbeff = 0,9104
Verlust= b - Σbeff	Verlust= b - Σbeff
Verlust= 0,396 - 0,3902	Verlust= 0,9104 - 0,9104
Verlust= 0,0058m	Verlust= 0m

Querschnittswerte der Steifen

Träger mit wirksame Breiten und Dicken

Die Querschnittswerte der Steifen ändern sich geringfügig, weil sich die Breiten geändert haben.

A_sl= t_w∙(b_1o + b_2u + t_sl) + b_sl∙t_sl

A_sl= 0,009∙(0,2013 + 0,3824 + 0,008) + 0,1∙0,008

A_sl= 0,0061254

$x_{sl}=\frac{t_{sl}\cdot b_{sl}\cdot (b_{sl2}+t_w/2)}{A_{sl}}$

$x_{sl}=\frac{0,008\cdot 0,1\cdot (0,05+0,0045)}{0,006125}$

x_sl= 0,007118

I_sl= 2 Eigen + 2 Steiner

$I_{sl}=\sum \left(\begin{array}{c}{t}_w^3\cdot (b_{eff1o}+b_{eff2u}+t_{sl})/12\\ b_{sl}^3\cdot t_{sl}/12\\ t_w\cdot (b_{eff1o}+b_{eff2u}+t_{sl})\cdot x_{sl}^2\\ b_{sl}\cdot t_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_w/2-x_{sl}{)}^2\end{array}\right)$

$I_{sl}=\sum \left(\begin{array}{c}0,009^3\cdot (0,5917)/12\\ 0,1^3\cdot 0,008/12\\ 0,009\cdot (0,5917)\cdot 0,007118^2\\ 0,1\cdot 0,008\cdot (0,05+0,0045-0,007118{)}^2\end{array}\right)$

I_sl= (0,036 + 0,666 + 0,27 + 1,796)∙10^-6

I_sl= 2,768∙10^-6m⁴

Beulen des Gesamtfeldes
plattenartiges Verhalten

Da die DIN keine Formeln zur Berechnung der Beulwerte für ausgesteifte Plattem enthält und stattdessen auf die Literatur verweist, wird der Beulwert nach dem Eurocode berechnet.

b₁= h_w1= 0,4

b= B₁= h_w= 2,9

b₂= B₁ - h_w= 2,5

${\sigma }_{cr,sl}=\frac{1,05\cdot E}{A_{sl,1}}\cdot \sqrt{\frac{I_{sl,1}\cdot t^3\cdot b}{b_1\cdot b_2}}$(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4)

${\sigma }_{cr,sl}=\frac{1,05\cdot 210\cdot 10^9}{0,006125}\cdot \sqrt{\frac{2,768\cdot 10^{-6}\cdot 0,009^3\cdot 2,9}{0,4\cdot 2,5}}$

σ_cr,sl= 3,6∙10¹³∙2,419∙10^-6= 8,71∙10⁷N/m²

σ_pi= 87,09∙N/mm²

Der Beulwert muss für die DIN rückgerechnet werden.

${\sigma }_e=190000\cdot {\left(\frac{t}{b}\right)}^2=19000\cdot {\left(\frac{0,009}{2,9}\right)}^2$ (DIN 18800-3 Element 113)

σ_e= 1,82996N/mm²

k_σ= σ_pi/σ_e= 87,09/1,82996

k_σ= 47,59

${\bar{\lambda }}_p=\sqrt{\frac{f_{yk}}{{\sigma }_{pi}}}=\sqrt{\frac{240}{87,09}}$

${\bar{\lambda }}_p=1,66008$

${\kappa }_p=MIN(1,25,1,25-0,25\cdot \mathrm{\Psi })\cdot (\frac{1}{\bar{\lambda }}-\frac{0,22}{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\lambda }}})$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

${\kappa }_p=1,25\cdot (\frac{1}{1,66008}-\frac{0,22}{1,66008^2})$

κ_p= 0,65319

knickstabähnliches Verhalten

$\gamma =\frac{12\cdot (1-{\nu }^2)\cdot I}{h_w\cdot t_w^3}$ (DIN 18800-3 Element 114)

$\gamma =\frac{10,92\cdot 2,768\cdot 10^{-6}}{2,9\cdot 0,009^3}$

γ = 14,3

$\delta =\frac{A}{t_w\cdot h_w}=\frac{0,1\cdot 0,008}{0,009\cdot 2,9}$(DIN 18800-3 Element 114)

δ = 0,0306

$k=0,5\cdot (1+0,34\cdot ({\bar{\lambda }}_p-0,2)+{\bar{\lambda }}_p^2)$

k= 0,5∙(1 + 0,34∙(1,66008 - 0,2) + 1,66008²)

k= 2,126

${\kappa }_k=\frac{1}{k+\sqrt{k^2-{\bar{\lambda }}_p^2}}=\frac{1}{2,126+\sqrt{2,126^2-1,66008^2}}$

κ_k= 0,2895

Interaktion

$\frac{{\sigma }_{pi}}{{\sigma }_{ki}}=k_{\sigma }\cdot {\alpha }^2\cdot \frac{1+\mathrm{\Sigma }{\delta }_L}{1+\mathrm{\Sigma }{\gamma }_L}$ (DIN 18800-3 Gleichung 23)

$\frac{{\sigma }_{pi}}{{\sigma }_{ki}}=47,59\cdot {\left(\frac{7,1}{2,9}\right)}^2\cdot \frac{1+0,0306}{1+14,3}$

$\frac{{\sigma }_{pi}}{{\sigma }_{ki}}=19,21$

Λ= ${\bar{\lambda }}_p^2$ + 0,5 und 2< Λ <4(DIN 18800-3 Gleichung 22)

Λ= 1,66008² + 0,5

Λ= 3,256

$\rho =\frac{\mathrm{\Lambda }-{\sigma }_{pi}/{\sigma }_{ki}}{\mathrm{\Lambda }-1}$und 0 < ρ < 1(DIN 18800-3 Gleichung 21)

$\rho =\frac{3,256-19,21}{3,256-1}$

ρ= 0

κ_px= (1 - ρ²)∙κ_p + ρ²∙κ_k (DIN 18800-3 Gleichung 24)

κ_px= (1 - 0²)∙0,653 + 1²∙0,2895

κ_px= 0,65319

Nachweis

σ_d= 234N/mm²

σ_p,Rd= f_yd∙MIN(κ₁;κ₂;κ_px)= 240∙0,653/1,1

mit κ₁ und κ₂ als Abminderungsfaktoren für Einzelfeldbeulen

σ_p,Rd= 142,51

$\frac{{\sigma }_d}{{\sigma }_{p,Rd}}=\frac{234,23}{142,51}<1$(DIN 18800-3 Gleichung 11)

$1,64<1$

Nachweis nicht erfüllt.

Schubbeulen

Da die DIN keine Formel für einen Schubbeulwert mit Längssteifen enthält, wird die Formel aus dem Eurocode verwendet. Da auch der Rechenweg bis $\bar{\lambda }$gleich ist, werden die Werte bis dahin übernommen.

k_τ= 8,2233

${\bar{\lambda }}_p=\frac{h_w}{37,0103\cdot t\cdot ϵ\cdot \sqrt{k_{\tau }}}$ Hergeleitete Formel 2

${\bar{\lambda }}_p=\frac{2,9}{37,0103\cdot 0,009\cdot ϵ\cdot \sqrt{8,2233}}$

${\bar{\lambda }}_p=3,034$

Die Berechnung der Schubschlankheit für das Einzelfeld ist mit dem Eurocode identisch. Der Wert wird übernommen.

${\bar{\lambda }}_p=3,073$

Einzelfeldbeulen ist maßgebend.

${\bar{\lambda }}_p$= MIN(3,034;3,073)= 3,073

Für ${\bar{\lambda }}_p$> 1,38 und Beulfeld mit Längssteifen gilt

${\kappa }_{\tau }=\frac{1,16}{{\bar{\lambda }}_p^2}=\frac{1,16}{3,073^2}$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

κ_τ = 0,12286

Nachweis

${\tau }_d=\frac{V}{A}=\frac{1,142625}{2,9\cdot 0,009}$

τ_d= 43,78N/mm²

${\tau }_{P,Rd}=\frac{f_{yk}\cdot {\kappa }_{\tau }}{\sqrt{3}\cdot \gamma }=\frac{240\cdot 0,12286}{\sqrt{3}\cdot 1,1}$

τ_P,Rd= 15,47N/mm²

$\frac{{\tau }_d}{{\tau }_{P,Rd}}=\frac{43,78}{15,47}$ (DIN 18800-3 Gleichung 12)

$2,8287<1$

Nachweis nicht erfüllt

Lokales Beulen aus einer Einzellast

F= 330kN

s_s= 0,1m

c= s_s + 2∙t_f2= 0,1 + 2∙0,011

c= 0,122

$\alpha =\frac{a}{b}=\frac{7,1}{2,9}$

α= 2,4482

$\beta =\frac{c}{a}=\frac{0,122}{7,1}$

ß= 0,01718

Aus der Tabelle kann entnommen werden

Auszug aus Tabelle der Beulwerte für α und ß

ß↓ α→	2	3
0	1,17	0,73
0,1	1,21	0,79

$z=z_{lo}+(z_{ro}-z_{lo})\cdot \frac{x-x_1}{x_2-x_1}+(z_{lu}-z_{lo}+(z_{ru}-z_{lu}+z_{lo}-z_{ro})\cdot \left(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\right))\cdot \left(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\right)$

$k_{\sigma y}=1,17+(0,73-1,17)\cdot \frac{2,45-2}{3-2}+(1,21-1,17+(0,79-1,21+1,17-0,73)\cdot \left(\frac{2,45-2}{3-2}\right))\cdot \left(\frac{0,0171-0}{0,1-0}\right)$

k_σy= 1,17 - 0,198 + (0,04 + 0,02∙0,45)∙0,171

k_σy= 0,981

σ_e= 1,82996N/mm²

σ_y,pi= k_σy∙σ_e∙a/c

σ_y,pi= 0,981∙1,82996∙7,1/0,122

σ_y,pi= 104,49N/mm²

${\bar{\lambda }}_{py}=\sqrt{\frac{f_{yk}}{{\sigma }_{y,pi}}}=\sqrt{\frac{240}{104,49}}$

${\bar{\lambda }}_{py}=1,516$

${\kappa }_y=(\frac{1}{\bar{\lambda }}-\frac{0,22}{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{\lambda }}})$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

${\kappa }_y=(\frac{1}{1,516}-\frac{0,22}{1,516^2})$

κ_y= 0,56405

σ_yki= 1,88•σ_e= 3,437N/mm²

Es wird laut DIN die Beulschlankheit ${\bar{\lambda }}_{py}$ verwendet. Der Eurocode hingegen verlangt die Knickschlankheit ${\bar{\lambda }}_{ki,y}$.

$k=0,5\cdot (1+0,34\cdot ({\bar{\lambda }}_{py}-0,2)+{\bar{\lambda }}_{py}^2)$

k= 0,5∙(1 + 0,34∙(1,516 - 0,2) + 1,516²)

k= 1,872

${\kappa }_k=\frac{1}{k+\sqrt{k^2-{\bar{\lambda }}_{p^2}}}$

${\kappa }_k=\frac{1}{1,872+\sqrt{1,872^2-1,516^2}}$

κ_k= 0,33659

$\frac{{\sigma }_{y,pi}}{{\sigma }_{yki}}=\frac{104,49}{3,437}=30,41$

Λ= ${\bar{\lambda }}_p^2$ + 0,5 und 2< Λ <4(DIN 18800-3 Gleichung 22)

Λ= 1,516² + 0,5

Λ= 2,797

$\rho =Min(Max(\frac{\mathrm{\Lambda }-{\sigma }_{pi}/{\sigma }_{ki}}{\mathrm{\Lambda }-1};0);1)$ (DIN 18800-3 Gleichung 21)

$\rho =\frac{2,797-30,41}{2,797-1}$

ρ= 0

κ_px= (1 - ρ²)∙κ_p + ρ²∙κ_k(DIN 18800-3 Gleichung 24)

κ_px= (1 - 0²)∙0,56405 + 1²∙0,33659

κ_px= 0,56405

σ_P,Rd= f_yd∙ κ_px = 240∙0,56405/1,1

σ_P,Rd= 123,06

σ_y= F/(c∙t_w)= 330/(0,122∙0,009)

σ_y= 300,5N/mm²

Nachweis

$\frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_{P,Rd}}=\frac{300,5}{123,06}$

$\frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_{P,Rd}}=2,442$

Interaktion

κx= 0,65319	Nachweis η1: 1,6436
κy= 0,56405	Nachweis η2: 2,4422
κτ= 0,12286	Nachweis η3: 2,8287

e₁= 1 + κ_x⁴= 1 + 0,65319⁴ (DIN 18800-3 Gleichung 15)

e₁= 1,182

e₂= 1 + κ_y⁴= 1 + 0,56405⁴ (DIN 18800-3 Gleichung 16)

e₂= 1,101

e₃= 1 + κ_x∙ κ_y∙ κ_τ² = 1 + 0,65319∙0,56405∙0,12286² (DIN 18800-3 Gleichung 17)

e₃= 1,005

V= (κ_x∙ κ_y)⁶= (0,653∙0,564)⁶

V= 0,0025

${\left(\frac{|{\sigma }_x|}{{\sigma }_{xP,R,d}}\right)}^{e_1}+{\left(\frac{|{\sigma }_y|}{{\sigma }_{yP,R,d}}\right)}^{e_1}+{\left(\frac{\tau }{{\tau }_{P,R,d}}\right)}^{e_3}-V\cdot \left(\frac{|{\sigma }_x\cdot {\sigma }_y|}{{\sigma }_{xP,R,d}\cdot {\sigma }_{xP,R,d}}\right)$ < 1 (Gleichung 14)

1,644^1,182 + 2,442^1,101 + 2,829^1,005 - 0,0025∙1,644∙2,442

7,3074 > 1 Nachweis nicht erfüllt

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Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen

Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes

Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie