Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Neuneck

Neuneck (Nonagon)

• Vorlage:Blau für das regelmäßige Neuneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.
• Einleitung und Erklärungen zu "Mathematische Zusammenhänge", "Konstruktionen" mit weiteren Näherungskonstruktionen u. a. m. sind in dem Artikel Vorlage:W enthalten.

Konstruktion

Besonderheit

• Die Darstellung zeigt eine Konstruktion bei gegebenem Umkreis. Eine Alternative bei gegebener Seite ist mit "alternativ" gekennzeichnet.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis

01-Neuneck

1. Zeichne eine frei wählbare Strecke Vorlage:Overline.
2. Bestimme den Punkt S auf der Strecke Vorlage:Overline. In der Darstellung wurde hierfür die Strecke Vorlage:Overline halbiert. Prinzipiell ist die Lage des Punktes S bei gegebenem Umkreis frei wählbar.
3. Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt S, es ist der Umkreis des späteren Neunecks.
4. Ziehe einen kurzen Kreisbogen um den Punkt J mit dem Radius Vorlage:Overline.
5. Bestimme den Punkt B mit einem Abstand |SB|, der gleich lang ist wie die Strecke Vorlage:Overline. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
6. Zeichne eine gerade Linie ab dem Punkt M bis zum kurzen Kreisebogen, es ergibt sich der Schnittpunkt K.
7. Verbinde den Punkt K mit dem Punkt J, somit entsteht das gleichseitige Dreieck MJK.
8. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }JMK$ die Winkelhalbierende W₁.
9. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }JM{W}_1$ die Winkelhalbierende W₂, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke Vorlage:Overline.
10. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }{W}_{2}M{W}_1$ die Winkelhalbierende W₃, etwas länger als die Strecke Vorlage:Overline.
11. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }{W}_{2}M{W}_3$ die Winkelhalbierende W₄, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W₃.
12. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W₄, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W₄ und der Schnittpunkt N auf W₃.
13. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
14. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
15. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke Vorlage:Overline, sie ist ein Drittel der Strecke Vorlage:Overline.
16. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius Vorlage:Overline, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
17. Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M, es ergibt sich der Schnittpunkt A auf dem Umkreis des entstehenden Neunecks.
18. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, es ergibt sich die erste Seite des entstehenden Neunecks.
19. Trage die Strecke Vorlage:Overline siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
20. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.

Beispiel zur Verdeutlichung

Bei einem Umkreisradius r = 100.000 km wäre der absolute Fehler der 1. Seite ca. 8,6 mm.

Konstruktion bei gegebener Seite

1. Zeichne eine frei wählbare Strecke Vorlage:Overline.
2. Konstruiere über und mittels der Strecke Vorlage:Overline ein gleichseitiges Dreieck und bezeichne den dritten Eckpunkt mit K.
3. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }JMK$ die Winkelhalbierende W₁.
4. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }JM{W}_1$ die Winkelhalbierende W₂, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke Vorlage:Overline.
5. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }{W}_{2}M{W}_1$ die Winkelhalbierende W₃, etwas länger als die Strecke Vorlage:Overline.
6. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }{W}_{2}M{W}_3$ die Winkelhalbierende W₄, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W₃.
7. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W₄, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W₄ und der Schnittpunkt N auf W₃.
8. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
9. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |Vorlage:Overline|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
10. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke Vorlage:Overline, sie ist ein Drittel der Strecke Vorlage:Overline.
11. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius Vorlage:Overline, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
12. Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M.
13. Konstruiere vom Winkel $\mathrm{\angle }RMK$ die Winkelhalbierende W₅.
14. Zeichne auf der Winkelhalbierenden W₅ einen Kreis um den in der Lage frei wählbaren Punkt T mit einem Radius, der gleich der halben gegebenen Neuneckseite ist.
15. Konstruiere eine Senkrechte zur Winkelhalbierende W₅ durch den Punkt T, es ergibt sich auf dem Kreis um Punkt T der Schnittpunkt V.
16. Konstruiere eine Parallele zur Winkelhalbierende W₅ ab dem Punkt V bis zur Strecke Vorlage:Overline, es ergibt sich der Schnittpunkt B. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
17. Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt B, es ist der Umkreis des entstehenden Neunecks. Es ergibt sich der Schnittpunkt A auf der Strecke Vorlage:Overline.
18. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, dies ist die erste Seite des entstehenden Neunecks.
19. Trage die Strecke Vorlage:Overline siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
20. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.

Fehler des Umkreisradius

Vorlage:Einrücken

Vorlage:Einrücken

Vorlage:Einrücken

Beispiel zur Verdeutlichung

Bei einer Seitenlänge s₁ = 10.000 km wäre der konstruierte Umfangsradius r ≈ 14.629,0219989 km um ca. 1,8 mm zu kurz.

Berechnung

Kreissektor mit gleichseitigem Dreieck MJK

01-Neuneck-3-Berechnungsskizze

Erste Seite des Neunecks

Vorlage:Einrücken

Konstruierter Umkreisradius $r_k$ bei gegebener Seite s₁

Vorlage:Einrücken

Vorlage:Einrücken

Vorlage:Einrücken

Umkreisradius $r$ bei gegebener Seite s₁

Vorlage:Einrücken

Vorlage:Einrücken

Vorlage:Einrücken

Weblinks

Dreiteilung des Winkels 60° in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme

Drittel der Strecke in diesem Buch im Kapitel Verschiedenes

Neuneck mit gegebener Seitenlänge