Mathematik: Topologie: Umgebungen: Umgebungsfilter sind Filter

Zu 1: Sei $T=(X,𝒪)$ ein topologischer Raum, $x\in X$ und $𝔘(x)$ der Umgebungsfilter von x.

Dann gilt für alle Umgebungen U von x wegen $U\in 𝔘(x)\iff \mathrm{\exists }O\in 𝒪:x\in O\wedge O\subseteq U$ und der Transitivität der Inklusion $\mathrm{\forall }A\subseteq X:U\subseteq A\Rightarrow O\subseteq A$, deshalb $\mathrm{\exists }O\in 𝒪:x\in O\wedge O\subseteq A$ und somit $A\in 𝔘(x)$, q.e.d..

Zu 2: Seien $U_1,U_2\in 𝔘(x)$, T und X wie oben.

Dann existieren $O_1,O_2\in 𝒪$ mit $O_1\subseteq U_1$ und $O_2\subseteq U_2$ und somit$O_1\cap O_2\subseteq U_1\cap U_2$. Wegen definitionsgemäß $O_1\cap O_2\in 𝒪$ und $x\in O_1\cap O_2$ gilt $U_1\cap U_2\in 𝔘(x)$, q.e.d..

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