Mathematik: Analysis: Grundlagen: Ganze Zahlen

Ganze Zahlen

Problem der Subtraktion

Jede Addition oder Multiplikation zweier natürlicher Zahlen hat eine Lösung, die wiederum eine natürliche Zahl ist. Dies gilt jedoch nicht für die Subtraktion. Beispiel:

$3-7$ hat keine Lösung in $\mathbb{N}$.

Um dieses Problem zu lösen, muss $\mathbb{N}$ erweitert werden. Das Ergebnis ist die Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen.

Lösungsidee und Definition der ganzen Zahlen

Seien $n,m\in \mathbb{N}$ zwei natürliche Zahlen. Die Differenz $n-m$ zu bilden ist einfach, wenn $m<n$ gilt. Nach der Definition von $<$ gibt es ein $x$ mit $m+x=n$. Wenn man noch zeigt, dass dieses $x$ eindeutig bestimmt ist, kann es als die Differenz der beiden Zahlen $m$ und $n$ definiert werden.

Wie lässt sich aber die Differenz definieren, wenn $n\le m$ ? Es gibt dann kein Element $x\in \mathbb{N}$ mit $m+x=n$. Die Grundidee ist, alle möglichen Differenzen $(n-m)$ von natürlichen Zahlen $m$ und $n$ zu einem neuen Element $[(n,m)]$, einer Äquivalenzklasse zusammenzufassen, wenn sie das gleiche "Differenzergebnis" liefern. Diese Äquivalenzklassen definiert man dann einfach als ganze Zahlen.

Möglich wird dies durch einen kleinen Trick: Die Paare $(m_1,n_1),(m_2,n_2)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ sollen dann zur gleichen Äquivalenzklasse gehören, wenn
$m_1-n_1=m_2-n_2$
gilt, sie also die gleiche "Differenz" haben. Da diese Differenz für "negative Ergebnisse" aber nicht definiert ist, fordert man einfach trickreich
$m_1+n_2=m_2+n_1$.

Formal kann man die ganzen Zahlen also wie folgt definieren:

Definition und Satz

1. Sei $\approx$ eine Relation auf $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ definiert durch:
   
   $\approx :=\{((m_1,n_1),(m_2,n_2))\in (\mathbb{N}\times \mathbb{N})\times (\mathbb{N}\times \mathbb{N})\mid m_1+n_2=m_2+n_1\}$.
   
   Für zwei Elemente $(m_1,n_1),(m_2,n_2)$ gilt also: "$(m_1,n_1)\approx (m_2,n_2))$" $\to$ "$m_1+n_2=m_2+n_1$".
   Dann ist $\approx$ eine Äquivalenzrelation.
   
   
2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen ganze Zahlen, d. h.
   
   $\mathbb{Z}:=\{[(m,n)]\mid$ "$(m,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$" und "$m_1,n_1\in [(m,n)]\iff m_1+n=m+n_1$" $\}$
   
   Die Klasse $[(1,1)]$ wird mit "Null" bzw. "$0$" bezeichnet.

Beweis

Zu zeigen sind also Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von $\approx$.

1. Reflexivität:
   Da für alle $(m_1,n_1)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ gilt: $m_1+n_1=m_1+n_1$ folgt
   $(m_1,n_1)\approx (m_1,n_1)$ und damit die Reflexivität.
   
   
2. Symmetrie:
   Sei $(m_1,n_1)\approx (m_2,n_2)$. Dann gilt:
   $m_1+n_2=m_2+n_1$ und damit
   $m_2+n_1=m_1+n_2$, also
   $(m_2,n_2)\approx (m_1,n_1)$ und das zeigt die Symmetrie.
   
   
3. Transitivität:
   Sei also $(m_1,n_1)\approx (m_2,n_2)$ und $(m_2,n_2)\approx (m_3,n_3)$. Dann gilt:
   $m_1+n_2=m_2+n_1$ und $m_2+n_3=m_3+n_2$. Hieraus ergibt sich:
   $m_1+n_2+n_3=m_2+n_1+n_3=m_2+n_3+n_1=m_3+n_2+n_1$ also
   $m_1+n_3=m_3+n_1$, d. h. $(m_1,n_1)\approx (m_3,n_3)$ und das zeigt die Transitivität.

Addition und Multiplikation

Seien $a=[(k,l)]$ und $b=[(m,n)]$ zwei ganze Zahlen. Wegen der Rechenregeln

$(k-l)+(m-n)=(k+m)-(l+n)$ und

$(k-l)\cdot (m-n)=(k\cdot m+l\cdot n)-(k\cdot n+l\cdot m)$

ist klar, wie man Addition und Multiplikation definiert:

Definition und Satz

Seien $a=[(k,l)]$ und $b=[(m,n)]$ zwei ganze Zahlen. Auf $\mathbb{Z}$ wird durch

1. $\oplus :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$
   
   $[(k,l)]\oplus [(m,n)]:=[(k+m,l+n)]$
   
   eine Abbildung, die Addition $\oplus$, definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.
   
   
2. $\odot :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$
   
   $[(k,l)]\odot [(m,n)]:=[(km+ln,kn+lm)]$
   
   eine Abbildung, die Multiplikation $\odot$, definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.

Beweis

Der Beweis wird nur für die Addition skizziert.

Zunächst ist zu zeigen, dass die Addition (in $\mathbb{Z}$) wohldefiniert ist. Das Problem ist hier, dass das Ergebnis einer Addition von der (zufälligen) Auswahl eines Repräsentanten der beteiligten Klassen abhängen könnte, also verschiedene Repräsentanten auch zu verschiedenen Ergebnissen (Funktionswerten) führen könnten. Wenn dies zutreffen würde wäre $\oplus$ keine Funktion und nicht "wohldefiniert".

Seien also mit $a,u\in \mathbb{Z}$ jeweils zwei unterschiedliche Repräsentanten gegeben, d. h.

$a=[(a_1,b_1)]=[(a_2,b_2)]$ und $u=[(u_1,v_1)]=[(u_2,v_2)]$

Zu zeigen ist: $[(a_1+u_1,b_1+v_1)]=[(a_2+u_2,b_2+v_2)]$.

Hinweise: bei der Einführung von Äquivalenzrelationen wurde gezeigt, dass Äquivalenzklassen disjunkt oder gleich sein müssen. Dies besagt aber gerade, dass aus

$[(a_1,b_1)]=[(a_2,b_2)]$ und $[(u_1,v_1)]=[(u_2,v_2)]$ folgt:

$(a_1,b_1)\approx (a_2,b_2)$ und $(u_1,v_1)\approx (u_2,v_2)$.

Hieraus lässt sich nun (unter Anwendung der Addition in $\mathbb{N}$) einfach zeigen, dass

$(a_1+u_1,b_1+v_1)\approx (a_2+u_2,b_2+v_2)$ gilt. Hieraus folgt dann, wiederum mit dem eben erwähnten Satz, das gewünschte Ergebnis.

Kommutativität (der Beweis für die Assoziativität verläuft ähnlich):

Mit den oben definierten $a,u\in \mathbb{Z}$ gilt:

$a\oplus u=[(a_1+u_1,b_1+v_1)]=[(u_1+a_1,v_1+b_1)]=u\oplus a$. Hierbei wurde die Kommutativität in $\mathbb{N}$ benutzt.

"Einbettung" der natürlichen in die ganzen Zahlen

Manche Leser stellen sich hier vielleicht die Frage, ob durch diese Definitionen das Rechnen mit den natürlichen Zahlen noch irgend eine Gemeinsamkeit mit den ganzen Zahlen hat oder hier etwas völlig Neues kreiert wurde. Die Frage ist berechtigt. Der folgende Satz zeigt aber, dass man $\mathbb{N}$ als Teilmenge von $\mathbb{Z}$ auffassen kann und dass Addition und Multiplikation in $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$ das Gleiche bedeuten.

Satz

Die Abbildung

$\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$
$\sigma (n):=[(n+1,1)]$

ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt:

$\sigma (n+m)=\sigma (n)\oplus \sigma (m)$ und
$\sigma (n\cdot m)=\sigma (n)\odot \sigma (m)$.

Beweis

1. Injektivität: Es gelte $\sigma (m)=\sigma (n)$. Zu zeigen ist $m=n$.
   Aus $\sigma (m)=\sigma (n)$ folgt $[(m+1,1)]=[(n+1,1)]$. Wie im obigen Beweis gezeigt gilt also: $(m+1,1\approx (n+1,1)$, also $m+1+1=n+1+1$, woraus $m=n$ folgt.
   
   
2. Additionserhaltend: Es gilt $\sigma (m+n)=[(m+n+1,1)]=[(m+n+1+1,1+1)]=[(m+1,1)]\oplus [(n+1,1)]=\sigma (m)\oplus \sigma (n)$.
   
   
3. Multiplikationserhaltend: Es gilt
   $\sigma (m\cdot n)=[(m\cdot n+1,1)]=[(m\cdot n+n+m+1+1,n+m+1+1)]$ $=[((n+1)\cdot (m+1)+1,n+1+m+1)]=[(n+1,1)]\odot [(m+1,1)]=\sigma (m)\odot \sigma (n)$.
   
   

Man kann also beruhigt statt $\oplus$ und $\odot$ wieder $+$ und $\cdot$ schreiben und einfach $n$ statt $\sigma (n)$, was im Folgenden auch getan wird. Allerdings ist noch nicht geklärt, wie mit den "neuen" Elementen, den "negativen" Zahlen umgegangen werden soll. Dies wird im nächsten Abschnitt präzisiert.

Negative Zahlen

Um die gewohnte Schreibweise der negativen Zahlen einzuführen und mit der obigen Definition der ganzen Zahlen in Einklang zu bringen, zeigt man folgenden Satz und kann dann die negativen Zahlen definieren:

Definition und Satz

Sei $m,n\in \mathbb{Z}$. Dann gibt es genau ein $z\in \mathbb{Z}$ mit $m+z=n$.

Dieses $z$ nennt man auch $n-m$.

Für $0-m$ kürzt man zu $-m$ ab und bezeichnet $-m$ als die zu $m$ negative Zahl.

Beweis

Sei $m=[(m_1,m_2)]$ gegeben. Setzt man $m^{\prime }:=[(m_2,m_1)]$, so gilt:

$m+m^{\prime }=[(m_1+m_2,m_1+m_2)]=m^{\prime }+m=0$.

Es gibt also zu $m$ mindestens eine negative Zahl $m^{\prime }$ und mit dieser gilt: $z=n+m^{\prime }$.

Für dieses $m^{\prime }$ folgt weiter:

$m+z$	=   $m+(n+m^{\prime })$
	=   $m+(m^{\prime }+n)$      (Kommutativität in $\mathbb{Z}$)
	=   $(m+m^{\prime })+n$      (Assoziativität in $\mathbb{Z}$)
	=   $0+n=n$.

Zu zeigen ist noch, dass die Gleichung höchstens eine Lösung hat. Sei also $z^{\prime }$ eine weitere Lösung mit $m+z^{\prime }=n$. Es folgt:

$z^{\prime }=(m^{\prime }+m)+z^{\prime }=m^{\prime }+(m+z^{\prime })=m^{\prime }+n=z$.

Rechenregeln und weitere Eigenschaften

Mit den obigen Definitionen und Sätzen lassen sich nun leicht die bekannten Rechenregeln und Eigenschaften der ganzen Zahlen definieren und beweisen.

Das sind insbesondere die Assoziativitäts-, Kommutativitäts- und Distributivgesetze sowie die Vorzeichenregeln für das Rechnen, aber auch weitere Eigenschaften wie die Teilbarkeit oder Primfaktoren. Da in der Analysis die reellen Zahlen im Mittelpunkt stehen, wird das hier nicht weiter ausgeführt.

Es gilt also wie gewohnt:

$\mathbb{Z}=\{\dots -2,-1,0,1,2\dots \}=\mathbb{N}\cup 0\cup \{-n|n\in \mathbb{N}\}$ und

$-\mathbb{N}:=\{(-1)\cdot x|x\in \mathbb{N}\}$

Mathematik: Analysis: Vorlage: BottomNavi

Autorenliste

Bei der Erstellung diese Buches wurden bestehende Kapitel aufgeteilt. In diesem Kapitel sind Teile des aufgeteilten Kapitels Mathematik: Analysis: Grundlagen: Natürliche Zahlen und enthalten. Vorlage:Autoren